PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Sea V y W dos espacios vectoriales de bases respectivas \( (v_1 , v_2 , v_3) \; y \; (w_1 , w_2 , w_3 , w_4) \) encontrar la ecuación matricial respecto de bases de la aplicación lineal f dada por:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1 + 2·v_2- 3·v_3) = w_1 - w_3 + w_4 \\
     \\
    f(2·v_1 + v_3) = 2·w_2 - w_4 \\
     \\
    f(3·v_3 + v_2) = w_2 + 2·w_3
    \end{array} \)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 72

Puesto que f es una aplicación lineal, podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1 + 2v_2 - 3v_3) = f(v_1) + 2f(v_2) - 3f(v_3) \\
     \\
    f(2v_1+v_3)= 2f(v_1)+3f(v_3) = 2w_2 - w_4 \\
     \\
    f(v_3) = 2w_2 - w_4 - 2f(v_1) \\
     \\
    f(3v_1+v_2) = 3f(v_1)+f(v_2) = w_2 + 2w_3 \\
     \\
    f(v_2)= w_2 + 2w_3 - 3f(v_1)
    \end{array} \)
Sí sustituimos \( f(v_2) \; y \; f(v_3) \) en la primera de las ecuaciones por sus valores dados en la tercera y segunda, respectivamente, tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1) + 2[w_2 + 2w_3 - 3f(v_1)] - 3[2w_2 - w_4- 2f(v_1)] = \\
     \\
    = f(v_1) + 2w_2 + 4w_3- 6f(v_1) - 6w_2 + 3w_4 + \\ \\+ 6f(v_1) - 6w_2 + 3w_4 + 6f(v_1) = \\ \\
    = f(v_1) - 4w_2 + 4w_3 + 3w_4
    \end{array} \)
Igualando este resultado con el segundo miembro de la primera ecuación y despejando \( f(v_1) \) , nos queda finalmente:
    \( f(v_1) = w_1 + 4w_2 - 5w_3 - 2w_4\)
De dónde podemos obtener, por sustitución:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_2)= 3w_1 - 11w_2+17w_3+6w_4 \\
     \\
    f(v_3)= - 2w_1 - 6w_2 + 10w_3 + 3w_4
    \end{array} \)
Estas tres últimas ecuaciones determinan la matriz de cambio, qué será de la forma:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 3 & -2 \\
    4 & -11 & -6 \\
    -5 & 17 & 10 \\
    -2 & 6 & 3 \\
    \end{array}
    \right) \)
Con lo que ecuación matricial será:
    \( \left(
    \begin{array}{c}
    y_1 \\
    y_2 \\
    y_3 \\
    y_4 \\
    \end{array}
    \right) = A·\left(
    \begin{array}{c}
    x_1\\
    x_2 \\
    x_3 \\
    \end{array}
    \right) \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás