PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Resolver el problema anterior en el caso de que se tenga:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1)= 4·w_1 +w_2- w_3\\
     \\
    f(v_2)= w_1 - 4·w_3
    \end{array} \)
Siendo \( v_1, v_2 \) una base de V y \( w_1, w_2, w_3 \) una base de W

RESPUESTA DEL EJERCICIO 71

Al ser f aplicación Lineal, se tiene para cualquier vector \( (x_1,x_2)\in V \):
    \( \begin{array}{l}
    f(x_1,x_2) = (y_1,y_2,y_3)\quad ;\textrm{ donde }(y_1,y_2,y_3)\in W \\
     \\
    f(x_1v_1+x_2v_2) = x_1f(v_1)+ x_2f(v_2) =\\\\
    x_1(w_1+w_2-w_3) + x_2(w_1-4w_3)
    \end{array} \)
Por otro lado, cómo se ha de cumplir:
    \(f(x_1v_1 + x_2v_2) = y_1w_1 + y_2w_2 + y_2w_3 \)
Podemos poner:
    \(x_1(w_1+w_2-w_3) + x_2(w_1 - 4w_3) = y_1w_1 + y_2w_2 + y_2w_3\)
de donde obtenemos :
    \(w_1(x_1+x_2) + w_2x_1 + w_3(-x_1-4x_2) = y_1w_1 + y_2w_2 + y_2w_3 \)
Y por tanto:
    \(y_1 = x_1+x_2 \;; \; y_2=x_1 \; ;\; y_3 = -x_1-4x_2 \)
Como hemos visto anteriormente, sí \( [(v_1,v_2)] \) genera V, su imagen generará Im f y podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    Im\: f = [f(v_1)+f(v_2)] [(1, 1, -1) + (1, 0, -4)]= \\
     \\
    = \{\alpha(1, 1, -1) + \beta(1, 0, -4)\:/\:\alpha , \beta \in R \}
    \end{array} \)
Como en el problema anterior, sí demuestra que los vectores \( (1, 1, -1), (1, 0, -4) \) son linealmente independientes, y puesto que generan Im f, se tendrá que constituye una base de dicho espacio, que, por lo tanto, tiene dimensión 2.
Para determinar Ker f hacemos:
    \( Ker \:f = \{(x_1,x_2)\:/\: f(x_1,x_2)= (0, 0, 0)\} \)
Y según hemos visto antes, se tiene:
    \( f(x_1,x_2) = (y_1,y_2,y_3) = (x_1+x_2 , x_1 , -x_1-4x_2) \)
De dónde podemos poner:
    \( \left.
    \begin{array}{l}
    x_1+x_2 = 0 \\
     \\
    x_1 = 0 \\
     \\
    -x_1-4x_2 = 0 \\
    \end{array}
    \right\}\quad \Rightarrow x_1 = x_2 = 0 \)
Ker f será, por tanto: \( \{(0, 0)\}\) lo que implica que f será una aplicación inyectiva
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás