PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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¿Son subespacios vectoriales de \(R^2\) sobre R los siguientes subconjuntos de \(R^2\)?
    \(\begin{array}{l} a)\quad R_1^2 = \{(x,y)\;/\; x=y\} \\  \\ b)\quad R_2^2 = \{(x,y)\;/\; x+4ˇy= 0\} \end{array} \)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 59

Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un subconjunto \(S \subset R^2\) sea subespacio vectorial, es que se tenga:
    \(\forall \; (x_1, y_1), (x_2,y_2)\in R^2\;, \; \forall \; \lambda , \mu \in R \Rightarrow \lambda(x_1, y_1)+ \mu(x_2,y_2)\in S \)

Vamos a ver entonces cuáles de los anteriores subconjuntos cumplen la anterior condición:

    \(Sean \;(x_1, y_1), (x_2,y_2)\in R_1^2 \Rightarrow (x_1, y_1)=(x_1, y_1)\;; \; (x_2, y_2)=(x_2, y_2) \)

Y podemos poner :

    \(\lambda(x_1, y_1)+ \mu(x_2,y_2) = (\lambda x_1, \lambda x_1) + (\mu x_2 , \mu x_2) = (\lambda x_1+ \mu x_2 , \lambda x_2 +\mu x_2 )
    \)
Y puesto que se tienen ambas coordenadas iguales, el elemento obtenido pertenece \(R_1^2\) de ahí que \(R_1^2\) sea subespacio vectorial de R2.

Sean \(p , q \in R_2^2\), podemos poner

    \( \begin{array}{l}
    p=(x,y)\;donde \;x + 4y = 0 \\
     \\
    q=(x',y')\;donde \;x' + 4y' = 0
    \end{array}\)

Aplicando el teorema fundamental se tiene:

    \(\lambda p + \mu q = \lambda (x,y) + \mu (x' , y') = (\lambda x + \mu x' , \lambda y + \mu y') \)

Operando con las coordenadas tenemos

    \(\begin{array}{l}
    (\lambda x + \mu x') + 4(\lambda y + \mu y')= \lambda x + \mu x'+ 4 \lambda y + 4 \mu y' = \\
     \\
    = (\lambda x + 4 \lambda y) + (\mu x' + 4 \mu y') = \lambda (x+4 y') + \mu (x+4 y') = \\
     \\
    = \lambda 0 + \mu 0 = 0
    \end{array} \)

Por lo tanto si las coordenadas del elemento obtenido cumplen la condición pedida podemos decir que \(R_2^2\) es un subespacio vectorial de \(R^2\) en R.

Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás