PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Determinar en \(R^4\) una base del subespacio que tiene por ecuación cartesiana:
    \(x_1 + 3·x_2 - x_3 + 2·x_4 = 0 \)

¿Cuál es el subespacio suplementario?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 58

Debemos seguir el proceso contrario que el empleado para obtener la ecuación cartesiana
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x_1 + 3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = - 3x_2 + x_3 - 2x_4 \quad ; \quad x_1 = \lambda_1 \\
    - 3x_2 + x_3 - 2x_4 = \lambda_1 \Rightarrow 3x_2 = x_3 - 2x_4 - \lambda_1 \quad ; \quad \\
    x_2 = \frac{1}{3}x_3 - \frac{2}{3}x_4 - \frac{1}{3}\lambda_1 \quad ; \quad x_2 = \lambda_2 \\
    \frac{1}{3}x_3 - \frac{2}{3}x_4 = \lambda_2 + \frac{1}{3}\lambda_1 \Rightarrow \frac{1}{3}x_3 = \lambda_2 + \frac{1}{3}\lambda_1 + \frac{2}{3}x_4 \quad ; \quad \\
    x_3 = 3\lambda_2 + \lambda_1 + 2x_4 \quad ; \quad x_3 = \lambda_3\\
    2x_4 = \lambda_3 - 3\lambda_2 - \lambda_1 \Rightarrow x_4 = \frac{1}{2}\lambda_3 - \frac{2}{3}\lambda_2 - \frac{1}{2}\lambda_1
    \end{array} \)

Las ecuaciones paramétricas son por tanto

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    x_1 = \lambda_1 \\
    x_2 = \lambda_2 \\
    x_3 = \lambda_3 \\
    x_4 = \frac{1}{2}\lambda_3 - \frac{3}{2}\lambda_2 - \frac{1}{2}\lambda_1
    \end{array}\)

Si tiene entonces

    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \left(\lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3 , \frac{1}{2}\lambda_3 - \frac{3}{2}\lambda_2 - \frac{1}{2}\lambda_1 \right) = \left(x_1 , x_2 , x_3 , x_4\right) = \\
    = \left(\lambda_1 , 0 , 0 , - \frac{1}{2}\lambda_1\right) + \left(0 , \lambda_2 , 0 , - \frac{3}{2}\lambda_2\right)+ \left(0 , 0 , \lambda_3 , \frac{1}{2}\lambda_3\right) = \\
    = \lambda_1\left(1, 0 , 0 , - \frac{1}{2}\right)+ \lambda_2\left(0, 1 , 0 , - \frac{3}{2}\right)+ \lambda_3\left(0 , 0 , 1 , \frac{1}{2}\right) = \\
    = \lambda_1\left(2, 0 , 0 , - 1\right)+ \lambda_2\left(0, 2 , 0 , - 3\right)+ \lambda_3\left(0 , 0 , 2 , 1\right)
    \end{array} \)

Una base de este subespacio vectorial será por tanto

    \([(2 , 0 , 0 , 1) , (0 , 2 , 0 , -3) , (0 , 0 , 2 , 1)] \)

El subespacio suplementario deberá tener dimensión 1, pues tenemos

    \(\begin{array}{l}
    Dim \:R^4 + Dim U \cap W = Dim U + Dim W \\
     \\
    4 + Dim U \cap W = 3 + Dim W
    \end{array} \)

Pero el ser \(R^4\) suma directa de

    \( U \textrm{ y } W \Rightarrow Dim U\cap W = 0\)

de donde se tiene:

    \(4 + 0 = 3 + Dim W \quad ; \quad Dim W = 1\)

En realidad existen infinitos espacios suplementarios del U, por ser el cuerpo de base infinito, pero todos ellos son isomorfos.

La base del subespacio U:

    \([(2 , 0 , 0 , 1) , (0 , 2 , 0 , -3) , (0 , 0 , 2 , 1)] \)

junto con una base del subespacio vectorial W deberán formar una base de \(R^4\) por lo tanto se deberá tener :

    \( \left|
    \begin{array}{cccc}
    2 & 0 & 0 & -1 \\
    0 & 2 & 0 & -3 \\
    0 & 0 & 2 & 1 \\
    x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
    \end{array}
    \right| \neq 0\)

Desarrollando este determinante si tiene

    \(2 \left|
    \begin{array}{ccc}
    2 & 0 & -3 \\
    0 & 2 & 1 \\
    x_2 & x_3 & x_4 \\
    \end{array}
    \right| - \left|
    \begin{array}{ccc}
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    x_1 & x_2 & x_3 \\
    \end{array}
    \right| = 2(4x_4 + 6x_2 - 2x_3) - 4x_1 \neq 0 \)

Podemos poner

    \(8x_4 + 12x_2 - 4x_3 - 4x_1 \neq 0 \quad ; \quad 2x_4 + 3x_2 - x_3 - x_1 \neq 0 \)

Qué es lo mismo que decir que el vector (1 , -3 , 1 , -2) es una base del subespacio vectorial W suplementario de un subespacio vectorial U.

Puede observarse que las coordenadas de este vector coinciden con los coeficientes de la ecuación cartesiana que determina el subespacio vectorial U.

Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás