PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Resolver por el método matricial el siguiente sistema:

    \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 56

Debemos obtener el determinante de la matriz de coeficientes pues en caso de que de 0 no se puede resolver un sistema por este método
    \(\left|
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    1 & -1 & 2 \\
    \end{array}
    \right| = 7 \)

Como si podemos resolverlo así seguimos haciendo

    \(\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right)
    \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    1 & -1 & 2 \\
    \end{array}
    \right)^{-1}\left(
    \begin{array}{c}
    2 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) \)

Obtenemos ahora la matriz inversa como sigue:

1º) se hace la transpuesta cambiando filas por columnas

    \(\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    1 & -1 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow A_t = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 1 \\
    2 & 1 & -1 \\
    1 & 2 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \)

A continuación se obtiene la adjunta, es decir se sustituye cada elemento por su adjunto que se obtiene haciendo el determinante de la matriz que resulta de quitar la fila y la columna del elemento considerado y poniendo signo + o - según la suma de sus índices (no se multiplica por él elemento):

    \( A_t = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 1 \\
    2 & 1 & -1 \\
    1 & 2 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow A_\alpha = \left(
    \begin{array}{ccc}
    4 & -5 & 3 \\
    2 & 1 & -2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\)

Finalmente se divide cada elemento por el determinante de la matriz A:

    \(A^{-1} = \left(
    \begin{array}{ccc}
    4/7 & -5/7 & 3/7 \\
    2/7 & 1/7 & -2/7 \\
    -1/7 & 3/7 & 1/7 \\
    \end{array}
    \right) \)
Desarrollando el producto por la matriz columna, tenemos:

    \(\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    4/7 & -5/7 & 3/7 \\
    2/7 & 1/7 & -2/7 \\
    -1/7 & 3/7 & 1/7 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    2 \\ 1 \\ 0 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    3/7 \\ 5/7 \\ 1/7 \\
    \end{array}
    \right) \)

La solución se puede comprobar efectuando el producto inverso, es decir:

    \(\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    1 & -1 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    3/7 \\
    5/7 \\
    1/7 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    2 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás