PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Sean E y F dos espacios vectoriales sobre R de dimensión 3 y 4 respectivamente; sean \(\{e_1, e_2, e_3\}\) base de E y \(\{u_1, u_2, u_3, u_4\}\) base de F.Sea G un espacio vectorial sobre R de dimensión 2 una de cuyas bases es \(\{v_1, v_2\}\).Se consideran los siguientes aplicaciones lineales:
    \(f\: :\: E \rightarrow F \quad ; \quad g\: :\: F \rightarrow G \)

Cuyas matrices de transformación son respectivamente

    \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\qquad ; \qquad B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \)
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores se pide:
    El núcleo de las aplicaciones lineales f y g
    Las dimensiones de los espacios vectoriales Im f e Im g
    La matriz de la composición \(g\circ f\) el núcleo de dicha aplicación y el espacio vectorial \(Im (g\circ f)\)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 53

Vamos a calcular el núcleo de f:
    \(Dim\: Ker \:f + Dim \: Im\: f= Dim\: E \)
La dimensión de E la conocemos y la dimensión de Im f = rango de A, a por lo que tenemos
    \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = -2 \neq 0 \Rightarrow r(A) = 3 \)

Podemos poner entonces

    \(Dim\: Ker \:f + 3 = 3 \Rightarrow Dim\: Ker \:f = 0\)
Según eso Ker f estará formado por el vector (0, 0, 0)

Para calcular Ker g tenemos

    \(Dim\: Ker \:g + Dim \: Im\: g= Dim\: F \)
Como antes calculamos en el rango de la matriz B:
    \(B = \left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 2 \\
    -1 & 2 & 0 & 3 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 1 \\
    -1 & 2 \\
    \end{array}
    \right) = 3 \neq 0 \Rightarrow r(B) = 2 \)
Tenemos según eso

    \(Dim\: Ker \:g + 2 = 4 \Rightarrow Dim\: Ker \:g = 2\)

Sabemos entonces que son necesarias dos ecuaciones cartesianas para determinar el subespacio puesto que el espacio vectorial principal tiene dimensión 4 estas ecuaciones las obtenemos haciendo:

    \(\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 2 \\
    -1 & 2 & 0 & 3 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3 \\
    x_4 \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow \begin{array}{l}
    x_1+x_2+2·x_4 = 0 \\
    2·x_2 - x_1+x_4 = 0
    \end{array} \)

Las dimensiones de Im f e Im g son respectivamente las rangos de las matrices de transformación de f y de g:

    \(Dim\: Im\: f = 3 \qquad ; \qquad Dim\: Im\: g = 2 \)

En el primer caso necesitamos tres vectores para determinar el espacio, estos serán tres vectores columna de la matriz de transformación:

    \(\textrm{ Base de } Im f = \{(1 , 0 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1 , 1) , (2 , 0 , 0 , 0)\} \)

En el segundo caso necesitamos dos vectores para determinar el espacio tomaremos 2 vectores columna de la matriz de formación B

    \( \textrm{ Base de } Im g = \{(1 , -1) , (1 , 2) \}\)

La matriz de transformación de \(g\circ f\) será el producto matricial de B y A:

    \(C = B·A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & 3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 5 & -2 \\ \end{array} \right) \)

El rango de la matriz C vale:

    \(C = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 3 & 2 \\
    -1 & 5 & -2 \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow \left|
    \begin{array}{cc}
    3 & 2 \\
    5 & -2 \\
    \end{array}
    \right| = -16 \neq 0 \Rightarrow r(C) = 2 \)

La dimensión de \(Im\: (g\circ f)\) valdrá por tanto 2 y una base de dicho espacio la compondrán por ejemplo dos de los vectores columna de la matriz:

    \( \textrm{ Base de } Im\: (g\circ f) = \{(1 , -1) , (3 , 5) \}\)

La dimensión de \(Im\: (g\circ f)\) vale

    \(Dim\: Ker \:(g\circ f) + Dim \: Im\: (g\circ f)= Dim\: E \Rightarrow Dim\: Ker \:(g\circ f) = 1 \)

Como hemos hecho anteriormente debemos obtener una ecuación cartesiana para determinar el espacio vectorial; está ecuación puede ser:

    \( x_1 + 3·x_2 + 2·x_3 = 0 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás