PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Dada una aplicación lineal f de un espacio vectorial E en otro F mediante la matriz
    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \)

hallar una base de f(E) y otra de Ker f

RESPUESTA DEL EJERCICIO 52

calculando el rango de la matriz de transformación se determina la dimensión de la imagen de E:
    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = -3 \Rightarrow h = 3 \)

La dimensión de f(E) será por tanto tres entonces tres vectores columna de la matriz de transformación constituyan una base de f(E):

    \( \{(1 , 1 , 0 , 1) , (1 , -1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1 , 2)\}\)

Para calcular la dimensión de Ker f se hace

    \(Dim\: Ker \:f + Dim \:f(E) = Dim\: E \)
Para ello tenemos que determinar antes la dimensión que sabemos por el producto de matrices que la matriz de transformación debe tener las mismas columnas y filas tengan como dicha matriz tiene tres columnas entonces qué cristina es decir que hablar de esto tendrá tres componentes por lo tanto será de dimensión 3.
Podemos poner entonces:

    \(Dim\: Ker \:f + 3 = 3 \Rightarrow Dim\: Ker \:f = 0\)
Por lo tanto, Kerf estará constituido por el vector (0, 0, 0)

Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás