En Q
3 demuéstrese que el
subespacio engendrado por los vectores \([(1, 2, 1), (1, 3, 2)]
\) es el mismo que el subespacio engendrado por \([(1, 1, 0),
(3, 8, 5)] \).
RESPUESTA DEL EJERCICIO 48
Se ha de probar que todo vector x engrendrado por \(E_1 = [(1,
2, 1), (1, 3, 2)] \) pertenece al espacio vectorial engendrado
por \(E_2 = [(1, 1, 0), (3, 8, 5)] \) y viceversa.
Resulta sencillo comprobar que ambos espacios tienen la misma
dimensión; vamos a comprobar si cada uno de ellos está
contenido en el otro.
\([(1, 2, 1), (1, 3, 2)] \) es una base del primer espacio;
vamos a ver si estos vectores son combinación lineal de
los vectores de la segunda base:
\( \begin{array}{l}
x_1 (1, 1, 0) + x_2 (3, 8, 5) = (1, 2, 1)\\
\\
y_1(1, 1, 0) + y_2 (3, 8, 5) = (1, 3, 2)
\end{array}\)
Comprobamos para el primero de los vectores:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
x_1 + 3x_2 = 1\; \; ; \; \; x_1 + 8x_2 = 2 \; \; ; \; \; 5x_2 = 1 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow x_2 = \frac{1}{5} \; \; ; \; \; x_1 = \frac{2}{5}
\end{array}\)
E igualmente, para el segundo:
\(\displaystyle\begin{array}{l}
y_1 + 3y_2 = 1\; \; ; \; \; y_1 + 8y_2 = 3 \; \; ; \; \; 5y_2 = 2 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow y_2 = \frac{2}{5} \; \; ; \; \; y_1 = - \frac{1}{5}
\end{array} \)
Hemos comprobado, por tanto, que los vectores de una base del
primer espacio vectorial están engendrados por los vectores
de una base del segundo espacio vectorial; de ahí se tiene:
\( E_1 \subset E_2 \)
Comprobamos ahora si ocurre igual en el caso contrario:
\( \begin{array}{l}
r_1 ((1, 2, 1)) + r_2 (1, 3, 2) = (1, 1, 0) \; \; ; \\
\\
s_1((1, 2, 1)) + s_2 (1, 3, 2) = (3, 8, 5)
\end{array}\)
Comprobamos con el primer vector:
\( \begin{array}{l}
r_1 + r_2 = 1\; \; ; \; \; 2r_1 + 3r_2 = 1 \; \; ; \\
\\
r_1 + 2r_2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2 \; \; ; \; \; r_2 = -1
\end{array}\)
Y, de modo análogo, con el segundo:
\(\begin{array}{l}
s_1 + s_2 = 3\; \; ; \; \; 2s_1 + 3s_2 = 8 \; \; ; \\
\\
s_1 + 2s_2 = 5 \Rightarrow s_1 = 1 \; \; ; \; \; s_2 = 2
\end{array} \)
Con lo que hemos comprobado, de igual modo, que los vectores
de una base del segundo espacio vectorial están engendrados
por los vectores de una base del primer espacio vectorial; en
consecuencia, tendremos : \( E_2 \subset E_1 \) y, por todo ello,
según la propiedad antisimétrica de la inclusión
de conjuntos, ambos espacios vectoriales son iguales.