Obtener una base en abanico para la aplicación lineal de
C2 en C2 que tiene como representación matricial el siguiente
operador:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 34
Para obtener una base en abanico para la aplicación lineal
del enunciado, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los
valores propios de la matriz asociada a la aplicación. Tenemos:
\(|A - \lambda I | = (1 - \lambda)^2 - 1 = \lambda ^2 - 2 \lambda
= 0 \; \rightarrow \; \lambda_1 = 0 \; ; \; \lambda_2 = 2 \)
Los vectores propios que obtenemos son:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x+y = 0 \rightarrow x = -y
\rightarrow v_1 = (1, -1) \)
\(\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x-y = 0 \rightarrow x = y
\rightarrow v_2 = (1, -1) \)
La matriz P de cambio será entonces:
\(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow
P^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}
\)
Con lo que resulta:
\(P^{-1}\, A\, P = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 &
1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Que por ser una matriz diagonal es también triangular superior
y, por lo tanto, está referida a una base en abanico.