Sea A una matriz triangular superior. Considerando A como aplicación lineal, ¿cuales son los valores propios de A^r, siendo r un entero mayor o igual que 1?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 32

Si A es una matriz triangular superior tendría la forma:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & ··· & a_{1n}\\ \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} \)

Y su polinomio característico será:

\(|A - \lambda \, I| = (a_{11} - \lambda) ··· (a_{nn} - \lambda)\)

Con lo que los valores propios de la matriz A son todos los aii.
Por otro lado tenemos que si \( \lambda \) es un valor propio de A entonces \( \lambda^2 \) es un valor propio de A².

\(Av = \lambda v \; \rightarrow \; A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda \, Av = \lambda^2 v\)

Supongamos ahora que \( a_{ii}^{r-1} \) es un valor propio de \( A^{r-1} \), tenemos:

\(A^r v = A\left(A^{r-1} v \right) = A\left(a_{ii}^{r-1} v \right) = a_{ii}^{r-1} \, A v = a_{ii}^r \, v\)

Y podemos decir que los valores propios de \( A^r \), son todos los \( a_{ii}^r \) .