Sea A una matriz triangular superior. Considerando A como aplicación
lineal, ¿cuales son los valores propios de A
r,
siendo r un entero mayor o igual que 1?
RESPUESTA
DEL EJERCICIO 32
Si A es una matriz triangular superior tendría la forma:
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & ˇˇˇ & a_{1n}\\ \\ 0
& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}
\)
Y su polinomio característico será:
\(|A - \lambda \, I| = (a_{11} - \lambda) ˇˇˇ (a_{nn} - \lambda)\)
Con lo que los valores propios de la matriz A son todos los aii.
Por otro lado tenemos que si \( \lambda \) es un valor
propio de A entonces \( \lambda^2 \) es un valor
propio de A².
\(Av = \lambda v \; \rightarrow \; A^2 v = A(Av) = A(\lambda v)
= \lambda \, Av = \lambda^2 v\)
Supongamos ahora que \( a_{ii}^{r-1} \) es un valor propio de \(
A^{r-1} \), tenemos:
\(A^r v = A\left(A^{r-1} v \right) = A\left(a_{ii}^{r-1} v \right)
= a_{ii}^{r-1} \, A v = a_{ii}^r \, v\)
Y podemos decir que los valores propios de \( A^r \), son todos
los \( a_{ii}^r \) .