Discutir si es posible resolver el sistema de ecuaciones lineales:
\(\begin{array}{l} 3 x - y - z + 5u = 0 \\ 5x + 2 y - z - 4u =
0 \\ 7x - y - 9 z - 2u = 0 \\ 2x - 3y - 8z + 2u = 0 \end{array}
\)
RESPUESTA
DEL EJERCICIO 29
Para ver si es posible resolver el sistema de ecuaciones lineales
dado, debemos obtener la matriz de los coeficientes. Si el rango
de la matriz coincide con el número de incógnitas,
el sistema sólo admite la solución trivial y decimos
que es un sistema incompatible. Si el rango (h) de la matriz de
los coeficientes es menor que el número de incógnitas
(m), se pueden dar valores a las (m-h) incógnitas consideradas
no principales y resolver el sistema en función de ellas.
Cuando h es menor en una unidad que el número de incógnitas,
el sistema puede resolverse por el método de los adjuntos:
\( \displaystyle \frac{x}{A_x} = \frac{y}{A_y} = \frac{z}{A_z}
= ˇˇˇ\)
Siendo \( A_x, A_y, A_z , ˇˇˇ \) los adjuntos de x, y, z…
Calculamos, pues, el rango de la matriz de los coeficientes:
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 & 5 \\ 5 & 2 &
-1 & -4 \\ 7 & -1 & -9 & -2 \\ 2 & -3 &
-8 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 &
0 \\ 11 & 3 & 1 & 6 \\ 4 & 8 & 9 & -7
\\ -7 & 5 & 8 & -13 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
11 & 3 & 6 \\ 4 & 8 & -7 \\ -7 & 5 & -13
\end{vmatrix} = 0 \)
Donde para pasar del primer determinante al segundo hemos desarrollado
las siguientes equivalencias:
1ª columna = 1ª columna + 3 multiplicado por 2ª
columna
2ª columna = 2ª columna – 3ª columna
4ª columna = 4ª columna + 5 multiplicado por 2ª
columna
Y donde hemos sacado factor (-1) de la tercera columna para facilitar
los cálculos. Obteniendo un menor de orden de orden 3, se
tiene:
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 5 & 2 & -1 \\
2 & -3 & -8 \end{vmatrix} \neq 0 \)
Y, por lo tanto, el rango de la matriz es h = 3. Como h es una unidad
menos que el número de incógnitas, podemos obtener
la solución por el método de los adjuntos:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{x}{\begin{vmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & -4 \\ -3 & -8 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{-y}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 5 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}} = \\
\\
= \frac{z}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 5 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{u}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 5 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -8 \end{vmatrix}}
\end{array} \)