Indicar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R₄

\(\begin{array}{l}
V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; x = y = z = t \} \\
 \\
V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; y = 2x \; ; \; t = x + z \}
\end{array}\)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 10

Se ha de cumplir:

\(\left. \begin{array}{l} \forall \; \alpha, \beta \in R \\ \\ \forall v_1, v_2 \in V \end{array} \right\} \; \; \alpha\, v_1 + \beta \, v_2 \in V\)

Tomando dos vectores cualesquiera que cumplan la primera condición:

\(\begin{array}{l} \alpha (x, x, x, x) + \beta (y, y, y, y) = \\  \\ = ( \alpha \, x + \beta \, y \; , \; \alpha \, x + \beta \, y \; , \; \alpha \, x + \beta \, y \; , \; \alpha \, x + \beta \, y ) \end{array}\)

Y el primero de los conjunto definidos si es subespacio vectorial de R4.

Análogamente, para el segundo ejemplo, se ha de cumplir:

\(\left. \begin{array}{l} \forall \; \gamma, \lambda \in R \\ \\ \forall w_1, w_2 \in W \end{array} \right\} \; \; \gamma\, w_1 + \lambda \, w_2 \in W\)

Y según el enunciado tenemos:

\(\gamma (x_1, 2x_1, z_1, x_1+z_1) + \lambda (x_2, 2x_2, z_2, x_2+z_2) = \)

\( ( \gamma \, x_1 + \lambda \, x_2 \; , \; \gamma \, 2x_1 + \lambda \, 2x_2 \; , \; \gamma \, z_1 + \lambda \, z_2 \; , \; \gamma \, x_1 + \gamma \, z_1 + \lambda \, x_2 + \lambda \, z_2)\)

\( [ \gamma \, x_1 + \lambda \, x_2 \; , \; 2( \gamma \, x_1 + \lambda \, x_2) \; , \; \gamma \, z_1 + \lambda \, z_2 \; , \; \gamma \, x_1 + \lambda \, x_2 + \gamma \, z_1 + \lambda \, z_2] \)

Considerando las coordenadas, se tiene que la segunda es el doble que la primera y la cuarta es la suma de la primera y la tercera, por lo tanto, se cumplen las condiciones requeridas para que el conjunto dado sea un espacio vectorial de R4.