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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones en derivadas parciales

Comprobar que la función implícita z = z(x, y) determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la expresión:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- 2\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·
    \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
- Respuesta 80

Definimos una función F en la forma:
    \( F = x·\varphi(z) + \psi(z) - y = 0 \)
Y derribando hasta el segundo orden respecto de x e y:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial F}{\partial x} = \varphi + \varphi' z'_x x + \psi' z'_x = 0 \Rightarrow z'_x = - \frac{\varphi}{x\varphi'+\psi'} \\
    \\
    \frac{\partial F}{\partial y} = \varphi + \varphi'z'_y x + \psi'z'_y - 1= 0 \Rightarrow z'_y = - \frac{1}{x\varphi'+\psi'}\\
    \\
    \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \varphi'z'_x + \varphi^{\prime\prime}z'^2_x + z^{\prime\prime}_{ xx }\varphi'x + \varphi'z'_x + \psi^{\prime\prime}z'^2_x +3\\
    \\
    + \psi'z^{\prime\prime}_{xx }= 0 \Rightarrow z^{\prime\prime}_{xx } = - \frac{2\varphi'z'_x + \varphi^{\prime\prime}xz'^2_x+ \psi^{\prime\prime}z'^2_x }{x\varphi'+\psi'} \\
    \\
    \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} =\varphi^{\prime\prime}z'^2_yx + \varphi'xz^{\prime\prime}_{yy}+ \psi^{\prime\prime}z'^2_y + \psi'z^{\prime\prime}_{yy} \\ \\
    \Rightarrow z^{\prime\prime}_{yy}= - \frac{x\varphi^{\prime\prime}z'^2_y + \psi^{\prime\prime}z'^2_y}{x\varphi'+\psi'}
     \\
    \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}= \varphi^{\prime\prime}z'_xz'_yx + \varphi'z^{\prime\prime}_{xy}x + \varphi'z'_y + \psi^{\prime\prime}z'_xz'_y + \psi'z^{\prime\prime}_{xy} = 0
    \\ \\
    \Rightarrow z^{\prime\prime}_{xy} = - \frac{x \varphi^{\prime\prime}z'_xz'_y + \varphi'z'_y + \psi^{\prime\prime}z'_xz'_y }{x\varphi'+\psi'}
    \end{array} \)
Si introducimos los valores obtenidos en la expresión del enunciado:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- 2\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·
    \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
En la expresión obtenida hemos de sustituir \( z'_x \; y\; z'_y \) por sus valores respectivos idea y determinar el valor de la expresión, cálculo que se desarrolla más fácilmente pasando,
    \( \displaystyle (x\varphi' + \psi')^3 \)
Al segundo miembro.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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Página publicada por: José Antonio Hervás