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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones en derivadas parciales

Introduciendo las nuevas variables que se indican, transformar la ecuación:
    \( x^4·y^{\prime \prime} + x·y·y' - 2·y^2 = 0 \)
Siendo:
    \( x = e^t \;;\; y = u·e^{2t} \;;\; donde\; u = u(t) \)
- Respuesta 79

Expresamos la derivada de y con respecto a x en función de t:
    \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}} = \frac{dy/dt}{e^t} \)
Pero
    \( \displaystyle \frac{dy}{dt} \)
Vale:
    \( \displaystyle \frac{dy}{dt} = \left(\frac{du}{dt}+ 2u\right)e^{2t} \)
Y por lo tanto:
    \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^t}\left(\frac{du}{fy}+ 2u\right)e^{2t} = \frac{du}{dt}e^t + 2ue^t \)
Para la segunda derivada tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)= \frac{d}{dt}\left(\frac{du}{dt}e^t + 2ue^t \right)\frac{1}{dx/dt} = \\
     \\
    = \frac{d^2 u}{d t^2} + 3\frac{du}{dt} + 2u
    \end{array} \)
Sustituyendo en la expresión del enunciado:
    \( \displaystyle \left( \frac{d^2 u}{d t^2} + 3\frac{du}{dt} + 2u \right)e^{4t} + e^tue^{2t}\left(\frac{du}{dt}+ 2u\right)e^t - 2\left(ue^{2t}\right)^2 = 0 \)
Con lo que simplificando:
    \( \displaystyle \frac{d^2 u}{d t^2}+ (3+u)\frac{du}{dt} + 2u= 0 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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Página publicada por: José Antonio Hervás