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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones en derivadas parciales

Tomando u y v por nuevas variables independientes y w(u, v) por una nueva función, transformar la siguiente ecuación:
    \( \displaystyle \left(x·\frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left(y·\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 = \frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·z^2 \)
Siendo:
    \( x = u·e^w \;;\; y = v·e^w \;;\; z = w·e^w\)
- Respuesta 78

Derivando z respecto u y v tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\left(e^w +\frac{\partial w}{\partial u}u·e^w \right) \\
     \\
    \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial y}\left(e^w +\frac{\partial w}{\partial v}v·e^w \right)
    \end{array} \)
Considerando a z cómo función de w resulta:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial u}e^w + \frac{\partial w}{\partial u}w·e^w\quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial v}e^w + \frac{\partial w}{\partial v}w·e^w \)
En los dos casos igualando las expresiones obtenidas en los dos casos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial z}{\partial u}= \left( 1 +\frac{\partial w}{\partial u}u \right) \frac{\partial z}{\partial x}e^w = (1+w)\frac{\partial w}{\partial u}e^w \;;\; \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{(1+w)w'_u}{(1+w'_uu)} \\
     \\
    \frac{\partial z}{\partial v} = \left( 1 +\frac{\partial w}{\partial v}v \right) \frac{\partial z}{\partial y}e^w = (1+w)\frac{\partial w}{\partial v}e^w \;;\; \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(1+w)w'_v}{(1+w'_vv)}
    \end{array} \)
Y sustituyendo en la expresión del enunciado:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{(1+w)^2(w'_u)^2}{(1+w'_uu)^2}u^2e^{2w} + \frac{(1+w)^2(w'_v)^2}{(1+w'_vv)^2}v^2e^{2w} = \\
     \\
    = \frac{(1+w)^2w'_uw'_v}{(1+w'_uu)(1+w'_vv)}
    \end{array} \)
Y simplificando:
    \( \displaystyle u^2\frac{1+w'_vv}{1+w'_uu}(w'_u)^2 + v^2\frac{1+w'_uu}{1+w'_vv}(w'_v)^2 = \frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial w}{\partial v}w^2 \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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Página publicada por: José Antonio Hervás