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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones en derivadas parciales

Tomando u, v como nuevas variables independientes transformar la ecuación:
    \( \displaystyle a·x^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + 2b·xy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + c·y^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =0 \)
Si \( u = \ln x \;;\; v = \ln y \) y dónde a, b, c son constantes arbitrarias.

- Respuesta 73


Derivando z respecto de x e y como función de función, resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} = \left(\frac{1}{x}\right)\frac{\partial z}{\partial u} \\
     \\
    \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} = \left(\frac{1}{y}\right)\frac{\partial z}{\partial v}
    \end{array} \)
Volviendo a derivar de la misma forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \left( \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 z}{\partial v \partial u}\frac{\partial v}{\partial x} \right)\frac{1}{x} - \frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{1}{x^2}\right) = \\ \\ =\left(\frac{1}{x^2}\right)\left[ \frac{\partial^2 z}{\partial u^2} - \frac{\partial z}{\partial u}\right] \\
     \\
    \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left( \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v }\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 z}{\partial v^2 }\frac{\partial v}{\partial x} \right)\frac{1}{y} = \frac{1}{xy} \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v }\\
     \\
    \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \left( \frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 z}{\partial v^2 }\frac{\partial v}{\partial y} \right)\frac{1}{y} - \frac{\partial z}{\partial v}\left(\frac{1}{y^2}\right) = \\ \\= \left(\frac{1}{y^2}\right)\left[ \frac{\partial^2 z}{\partial v^2} - \frac{\partial z}{\partial v}\right]
    \end{array} \)
Con todo ello tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    a·x^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + 2b·xy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + c·y^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\\
     \\
    a\left[ \frac{\partial^2 z}{\partial u^2} - \frac{\partial z}{\partial u}\right] + 2b\frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v } + c\left[ \frac{\partial^2 z}{\partial v^2} - \frac{\partial z}{\partial v}\right] = 0 \\
     \\
    
    \end{array} \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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Página publicada por: José Antonio Hervás