Ejercicios de ecuaciones en derivadas
parciales
Decir si son o no lineales los siguientes operadores:
\(\displaystyle a)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial
t} + x^2·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \; \; \; \; ;
\; \; b)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial t} + u·\frac{\partial^2u}{\partial
x^2} + u \)
\( \displaystyle c)\; \; \; L(u) \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial
t}\right)^2 + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \; \; \; \; ; \;
\; d)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \exp
(x^2t)·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + t^2u \)
\( \displaystyle e)\; \; L(u) \equiv u· \frac{\partial u}{\partial
y} + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial
x} = 0 \; \; ; \; \; f)\; \; L(u) \equiv x·\frac{\partial^2 u}{\partial
x^2} + y·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + 2u^2 \)
- Respuesta 02
La expresión general de un operador lineal es:
\( \displaystyle R(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + S(x,y)\frac{\partial^2
u}{\partial x \partial y} + T(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial
y^2}+ ...\)
\( \displaystyle ... +P(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+ Q(x,y)\frac{\partial
u}{\partial y} + U(x)·V(y) = F(x, y)\)
A partir de ahí podemos decir:
- a) Si es lineal
- b) No es lineal por \(u \big ( \partial^2 u/\partial x^2
\big )\)
- c) No es lineal por \(u \big ( \partial u/\partial t \big
)^2 \)
- d) Si es lineal
- e) No es lineal por \(u \big ( \partial u/\partial y \big
)\)
- f) No es lineal por 2⋅u²