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ejercicios de gradiente, rotacional

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que se verifica:
    \(T \; ^* ˇT = 0 \; \; \rightarrow \; \; T = 0\)
- Respuesta del ejemplo 36

Supongamos que los operadores T y T* vienen expresados en la forma:
    \(T = (a_{ij}) \; \; ; \; \; T^* = (b_{ij}) = (\bar{a}_{ji}) \)
Podemos poner entonces:
    \( T^*ˇT = (c_{ij}) = \displaystyle\sum_{k=1}^n b_{ik}ˇ a_{kj} \; \; \rightarrow \; \; c_{ii} = \sum_{k=1}^n b_{ik}ˇ a_{ki} = \sum_{k=1}^n \bar{a}_{ik}ˇ a_{ki} = \sum_{k=1}^n |a_{ki}|^2\)
Y considerando la hipótesis del enunciado, tenemos:
    \(T^*ˇT = 0 \; \; \rightarrow \; \; c_{ij} = 0 , \forall i, j \; \; ; \; \; c_{ii} = 0 \; \; i = 1, ..., n \)
Y de ahí se desprende fácilmente:
    \(\displaystyle \sum_{k=1}^n |a_{ki}|^2 = 0 \; \; \rightarrow \; \; a_{ki} = 0 \; \; , k, i = 1, ..., n \; \; \rightarrow \; \; A = 0 \; \; \rightarrow \; \; T = 0 \)
Donde A es la matriz que representa al operador T.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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Página publicada por: José Antonio Hervás