PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 51

Sea en \(R^4\) el subespacio vectorial formado por los vectores \(\{x_1, x_2, x_3, x_4\}\) que verifican la igualdad.

    \(x_1+ x_2+ x_3+x_4= 0\)

Fórmese un sistema de generadores de dicho subespacio

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Enunciado 52

Dada una aplicación lineal f de un espacio vectorial E en otro F mediante la matriz
    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) \)

hallar una base de f(E) y otra de Ker f

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Enunciado 53

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre R de dimensión 3 y 4 respectivamente; sean \(\{e_1, e_2, e_3\}\) base de E y \(\{u_1, u_2, u_3, u_4\}\) base de F.Sea G un espacio vectorial sobre R de dimensión 2 una de cuyas bases es \(\{v_1, v_2\}\).Se consideran los siguientes aplicaciones lineales:
    \(f\: :\: E \rightarrow F \quad ; \quad g\: :\: F \rightarrow G \)

Cuyas matrices de transformación son respectivamente

    \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\qquad ; \qquad B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \)
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores se pide:
    El núcleo de las aplicaciones lineales f y g
    Las dimensiones de los espacios vectoriales Im f e Im g
    La matriz de la composición \(g\circ f\) el núcleo de dicha aplicación y el espacio vectorial \(Im (g\circ f)\)
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Enunciado 54

Dada la aplicación
    \( f \: :\:R^4 \rightarrow R^4 \)

Tal que hace corresponder

    \( \begin{array}{l} f(e_1)= f(1,0,0,0)= (2,-1,-1,0)\;; \;f(e_2)= f(0,1,0,0)= (-1,1,0,-1) \\  \\ f(e_3)= f(0,0,1,0)= (0,1,1,0)\;; \;f(e_4)= f(0,0,0,1)= (0,-1,-1,2) \end{array} \)
se pide hallar la imagen del vector \(v = (2 , 5 , 6 , 8)\)
Hallar la anti imagen, en el caso de que exista, de los vectores

    \( a = (0,-2, -4, 4) \quad ; \quad b = (1 , 0 , 0 , 1) \)

Hallar la dimensión del espacio vectorial imagen
Indicar los elementos del núcleo de f
¿Pertenece el vector \(u = (1 , 2 , 3 , 4)\) al núcleo?

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Enunciado 55

Discutir el sistema según los distintos valores de m y n

    \(\begin{array}{l} x-ny + z = 0 \\ x+y+z = 0 \\ mx-2y - 5z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{array} \)
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Enunciado 56

Resolver por el método matricial el siguiente sistema:

    \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \)
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Enunciado 57

Hallar las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal L engendrada por el sistema de generadores
    \(G = [(1,1,1,1), (-1,0,1,0), (2,0,0,2)] \)

¿Es L un hiperplano? Hallar la ecuación del hiperplano

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Enunciado 58

Determinar en \(R^4\) una base del subespacio que tiene por ecuación cartesiana:
    \(x_1 + 3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \)

¿Cuál es el subespacio suplementario?

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Enunciado 59

¿Son subespacios vectoriales de \(R^2\) sobre R los siguientes subconjuntos de \(R^2\)?
    \(\begin{array}{l} a)\quad R_1^2 = \{(x,y)\;/\; x=y\} \\  \\ b)\quad R_2^2 = \{(x,y)\;/\; x+4y= 0\} \end{array} \)
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Enunciado 60

Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de \(R^3\) son subespacios de \(R^3\) en R
    \( \begin{array}{l} a)\quad R_1^3 = \{(x,y,z)\;/\; x+y+z=0\} \\  \\ b)\quad R_2^3 = \{(x,y,z)\;/\; x=y\:;\:2y= z\} \end{array} \)
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Problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: Jos Antonio Hervs