Enunciado
1
Dado el espacio vectorial R
2, una base del mismo (e
1,
e
2) y la de su dual \( (e_1^\ast , e_2^\ast )\), se
introduce un cambio de base en la siguiente forma:
\(v = e_1 - e_2 \; \; ; \; \; w = e_1 - 4e_2 \)
Obtener la base dual de (v, w) en función de la \( (e_1^\ast
, e_2^\ast )\).
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Enunciado 2
Siendo x = (x
1, x
2) un vector cualquiera
de R
2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones
lineales:
\(f(x) = 2x_1 + x_2 \; \; ; \; \; g(x) = x_1 + x_2 \)
Estudiar si forman una base del dual de R
2 y hallar
la base de R
2 de la que son dual.
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Enunciado 3
Sea la aplicación t : \(t \; : \; R_3 \rightarrow R_2 \)
definida en bases canónicas por :
núcleo \((t) \equiv x_1 + x_2 = 0 \; \; ; \; \; t(1,
0, 1) = (1, 1)\)
Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.
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Enunciado 4
Un endomorfismo de R
3 en las bases canónicas
viene dado por la matriz:
\(T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 1 & -2 &
3 \\ -1 & -1 & 5 \end{pmatrix}\)
Obtener la matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0,
0, 5)
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Enunciado 5
Sea \( f \in L(E, M) \) y \( f^t \) su aplicación dual. Demostrar:
a) f es inyectiva si y solo si f t es exhaustiva
b) f es exhaustiva si y solo si f t es inyectiva.
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Enunciado 6
Demostrar que si los vectores x
1, x
2, x
3
forman un sistema libre, también forman un sistema libre
los vectores (x
1+x
2), (x
1+x
3),
(x
2+x
3)
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Enunciado 7
Demostrar que si el sistema formado por los vectores x
1,
x
2, …, x
n es libre, también
lo es el formado por los vectores:
\(\begin{array}{l} y_1 = x_1 \\ \\ y_2 = x_1 + x_2 \\ \\ ˇ \;
ˇ \; ˇ \\ y_n = x_1 + x_2 + ˇˇˇ + x_n \end{array}\)
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Enunciado 8
¿Puede constituir el sistema v
1 = (1, 2, 3)
; v
2 = (2, -1, 0) ; v
3 = (1, 1, 0) una base
de R3?
Suponiendo que sea cierto lo anterior, calcular las coordenadas
del vector (2, 4, 6) en dicha base.
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Enunciado
9
¿Pertenece el vector v = (2, 4, 2) al subespacio engendrado
por los vectores \( v_1 = (1, 2, 3) \) ; \( v_2 = (1, 0, -1) \)
?.
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Enunciado 10
Indicar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
de R
4
\(\begin{array}{l}
V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; x = y = z = t \} \\
\\
V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; y = 2x \; ; \; t = x + z \}
\end{array}\)
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