Problemas y ejercicios resueltos de Cálculo Vectorial

Enunciado 1

Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.

Enunciado 2

Dados tres puntos no alineados del espacio, calcular el vector unitario perpendicular al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación el plano que contiene a los tres puntos.

Enunciado 3

Hallar el área del triángulo que tiene por coordenadas cartesianas los puntos a(1, 3, 4) , b(-2, 1, -1) , c(0, -3, 2).

Enunciado 4

Dado el sistema de cursores:

Determinar el momento mínimo y la ecuación del eje central.

Enunciado 5

Dado el sistema de cursores:

calcular el cursor que pasando por el origen haga que el sistema sea equivalente a un par. Determinar el momento mínimo del nuevo sistema y la ecuación del eje central.

Enunciado 6

Si descomponemos un vector r en sus componentes paralela y perpendicular a otro vector q, demostrar que la componente perpendicular vale:

\[r_\bot = \frac{\vec{q}\wedge \left(\vec{r}\wedge\vec{q}\right)}{q^2}\]

Enunciado 7

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie:

\(2·X·Z^2 - 3·X·Y - 4·X = 7\) En el punto P₀(1, -1, 2)

Enunciado 8

Calcular el vector unitario perpendicular al plano:

Por consideraciones del gradiente.

Enunciado 9

¿En qué dirección, a partir del punto (1, 3, 2) es máxima la derivada de la función:

\( \phi = 2· X · Z - Y^2 \) ¿Cuál es la derivada de la función en la dirección 2.i – 3.j + 6.k en dicho punto?.

Enunciado 10

Si F es un vector constante, demuéstrese que se verifica:

\(Grad \; \left(\vec{F}·\vec{r}\right) = \vec{F}\)