PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 81

Sea la aplicación lineal de \( R^2 \; en \; R^4 \) que transforma los vectores:

    \( (2, 1) \rightarrow (1, 0, -1, 3)\quad ; \quad (1, 1)= (2, -2, 3, 1) \)
Hallar la matriz que define la aplicación lineal, sí todos los vectores están referidos en ambos espacios a las bases canónicas.
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Enunciado 82

Sea \( V=V^3(K) \) y sea K = Z/3Z. Si es h un endomorfismo de (V) dado por:
    \( \begin{array}{l}
    h(a_1)= a_2+2a_3 \\
     \\
    h(a_2) = a_1 \\
     \\
    h(a_3) = 2a_1+2a_2+a_3
    \end{array} \)
Siendo \( (a_1, a_2, a_3)\) una base de V. Hallar una expresión matricial en esta base. Determinar así mismo su rango y núcleo, así como para la aplicación \( h^2 = h·h\).

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Enunciado 83

Sea T aplicación de \( R^3 \; en \; R^2 \) definida en relación a las bases:
    \( \{e_1, e_2, e_3\}\quad y\quad \{f_1 , f_2\} \)
Por la matriz:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & -1 & 1 \\
    3 & 2 & -3 \\
    \end{array}
    \right) \)
a) sea en \( R^3 \) la nueva base:
    \( \begin{array}{l}
    e'_1 = e_2+e_3 \\
     \\
    e'_2 = e_3+e_1 \\
     \\
    e'_3 = e_1+e_2
    \end{array} \)
Hallar la nueva matriz A' del operador.
b) elegidos como base de \( R^2 \) los vectores:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f'_1 = \frac{1}{2}(f_1+f_2) \\
     \\
    f'_2 = \frac{1}{2}(f_1-f_2)
    \end{array}\)
Y considerando en \( R^3 \) la base \( (e'_1, e'_2, e'_3) \), hallar la nueva matriz del operador.
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Enunciado 84

Sea T la matriz del endomorfismo referido a la base \( (e_1, e_2, e_3) \) de un espacio vectorial \( R^3 \), que toma la forma:
    \( T = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & -1 & 4 \\
    1 & 0 & 3 \\
    -1 & 2 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Hallar la matriz del operador cuando nos referimos a otra base \( (u_1, u_2, u_3) \) que cumple:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    e_1 = u_1 \\
     \\
    e_2 = \frac{1}{2}u_2 \\
     \\
    e_3 = u_3 + u_1 - \frac{1}{2}u_2
    \end{array} \)
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Enunciado 85

Sea T la transformación de \( R^3 \; en \; R^4 \) definida por:

    \( \begin{array}{l}
    y_1 = 5x_1-2x_2-x_3\quad ; \quad y_2 = 8x_1-3x_2+2x_3 \\
     \\
    y_3 = -x_1-2x_2-3x_3 \quad ; \quad y_4 = 3x_1- x_2 - 5x_3
    \end{array} \)
Determinar la imagen del plano \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \)

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Enunciado 86

Sea V espacio vectorial de las matrices (2,2) de R, y sea h un homorfismo de V en V definido en la forma:

    \( X\Rightarrow h(X) = A·X\quad ; \quad A = \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & -1 \\
    -4 & -4 \\
    \end{array}
    \right) \)
Hallar la expresión matricial de h respecto a la base canónica y determinar el rango de h así como de Ker h.

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Enunciado 87

Determinar el núcleo de la aplicación lineal \( T : R^4 \rightarrow R^3 \) dado por la matriz:
    \( A = \left(
    \begin{array}{cccc}
    2 & -1 & 1 & 5 \\
    -1 & 2 & 3 & -4 \\
    3 & 0 & 5 & 6 \\
    \end{array}
    \right) \)
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Enunciado 88

Sean B y B' bases de V y V' respectivamente,
    \( B = (u_1 , u_2 , u_3) \quad ; \quad B' = (v_1 , v_2) \)
Y sean f y g homomorfismos de V y V' determinados por las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    f(u_1) = v_1 - 2v_2 \\
     \\
    f(u_2) = v_1+v_2 \\
     \\
    f(u_3) = v_1 - v_2
    \end{array}\qquad ; \qquad \begin{array}{l}
    g(u_1) = 4v_1 - v_2 \\
     \\
    g(u_2) = v_1+2v_2 \\
     \\
    g(u_3) = 2v_1 + v_2
    \end{array} \)
Obtener la matriz de (f+g) y la matriz de \( \frac{3}{5}f \) ; hallar un vector de Ker f y otro vector de Ker g.

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Enunciado 89

Sean V,V', V" espacios vectoriales reales de bases B, B' y B" respectivamente; sí f y g igual no son dos aplicaciones definidas en forma:
    \( \begin{array}{l}
    f: V_2 \rightarrow V'_2 \; ;\; f(u_1) = v_1 - v_2 \; ;\; f(u_2) = v_1 + v_2 \\
     \\
    g: V'_2 \rightarrow V"_2 \; ;\;M(g) = \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & -1 \\
    2 & 6 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array} \)
Calcular:
    \( (g\circ f)(u_1 - 2·u_2) \)
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Enunciado 90

Sea f un endomorfismo de \( R^3 \) cuya matriz asociada a la base canónica es:
    \( M = \left(
    \begin{array}{ccc}
    33 & 16 & 72 \\
    -24 & -10 & -57 \\
    -8 & -4 & -17 \\
    \end{array}
    \right) \)
Encontrar la matriz asociada a f en la base constituida por los vectores:
    \( v_1 = (-19, 12, 4) \; ;\; v_2 = (-16, 13, 4)\; ; \; v_3 = (4 , -3 , 1) \)
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Enunciado 91

Sea V un espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R. Sea A la matriz:
    \( A = \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\
    0 & 3 \\
    \end{array}
    \right) \)
Se considera la aplicación lineal siguiente:
    \( V_4 \rightarrow V_4 \: :\: A \rightarrow f(A) = A·M - M·A \)
a) hallar la matriz de f en la base canónica de V
b) hallar una base y dimensión de Ker f.¿ cuál es el rango de f?.

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Problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás