PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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problemas resueltos


Enunciado 71

Resolver el problema anterior en el caso de que se tenga:

    \( \begin{array}{l}
    f(v_1)= 4·w_1 +w_2- w_3\\
     \\
    f(v_2)= w_1 - 4·w_3
    \end{array} \)
Siendo \( v_1, v_2 \) una base de V y \( w_1, w_2, w_3 \) una base de W
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Enunciado 72

Sea V y W dos espacios vectoriales de bases respectivas \( (v_1 , v_2 , v_3) \; y \; (w_1 , w_2 , w_3 , w_4) \) encontrar la ecuación matricial respecto de bases de la aplicación lineal f dada por:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1 + 2·v_2- 3·v_3) = w_1 - w_3 + w_4 \\
     \\
    f(2·v_1 + v_3) = 2·w_2 - w_4 \\
     \\
    f(3·v_3 + v_2) = w_2 + 2·w_3
    \end{array} \)
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Enunciado 73

En el espacio vectorial de los polinomios en t de grado menor o igual a 3, consideramos la base
    \( \{1 \,,\, 1-t \,,\, (1-t)^2 \,,\, (1-t)^3\} \)
Hallar el vector coordenado de \( v \in V \) relativo a dicha base, sí v es igual a:
    \( \begin{array}{l}
    a)\quad v= 2 - 3·t + t^2 + 2·t^3 \\
     \\
    b)\quad v = 3 - 2·t - t^2 \\
     \\
    c)\quad a + b·t + c·t^2 + d·t^3
    \end{array} \)
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Enunciado 74

En el espacio vectorial \( V_3 \) sobre el cuerpo de los números reales, se consideran los vectores:
    \( \bar{a} = (1, 1, 1)\quad ; \quad \bar{b} = (3, 2, 4)\quad ; \quad \bar{c} = (1, 0, 2) \)
Referidos a la base canónica \( (v_1 , v_2 , v_3)= B \)
Hallar la dimensión y ecuaciones paramétricas y cartesianas de la variedad lineal y engendradas por los vectores \( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \)
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Enunciado 75

Determinar en \( R_4 \) una base del subespacio definido por las ecuaciones:

    \( \begin{array}{l}
    x_1 - 3·x_2 - x_3 - 2·x_4 = 0 \\
     \\
    x_1 - x_2 + 3·x_3 - x_4 = 0
    \end{array} \)
¿Cuál es el subespacio complementario?

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Enunciado 76

Sea la ecuación matricial:

    \( Y = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & -1 \\
    2 & 4 & 3 \\
    -1 & -2 & 6 \\
    \end{array}
    \right)·X \)
Aquella que representa un endomorfismo de un espacio vectorial V; y sea:
    \( X = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    \end{array}
    \right)·\bar{X} \)
La ecuación de un cambio de coordenadas.
Escribir la ecuación del endomorfismo en las coordenadas de \( \bar{X} \)

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Enunciado 77

Sea E la aplicación lineal de \( R^3 \; en \; R^4 \) determinada por la matriz:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    2 & 4 & 6 \\
    -1 & -4 & 11 \\
    2 & 8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Cuándo \( R^3 \; y \; R^4 \) están referidos a sus bases canónicas.
Calcular las dimensiones de Im f y Ker f quitar una base de Ker f
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Enunciado 78

Sea aplicación f de \( R^3 \; en \; R^3 \) dada por:
    \(f(x_1 , x_2 , x_3) = (x_1-x_2+2x_3 , 2x_1+x_2 , -x_1-2x_2+2x_3)\)
Determinar su rango y el nucleo.

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Enunciado 79

Sea f el endomorfismo de \( V^{\:3}\;en \;V^{\:4} \) dado por las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1)= v_1+v_2-v_3 \\
     \\
    f(v_2) = 2·v_1+v_2-v_4 \\
     \\
    f(v_3) = v_1+v_3-v_4
    \end{array} \)
Hallar las ecuaciones implícitas, paramétricas y cartesianas de Ker f e Im f. Factorizar f canónicamente.
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Enunciado 80

Sea el espacio vectorial \( R^3 \); si desea conocer la matriz asociada a un operador f en una base de referencia \( (u_1 , u_2 , u_3) \), sabiendo que el núcleo está engendrado por el vector (1, 2, 3), el que se tiene:
    \( f(u_2) = (1, 0, -1)\quad ; \quad f(u_3)= (2, 1, 4) \)
Siendo \( u_2 \; y \; u_3 \) vectores de la base dada.
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Problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás