PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 61

Determinar sí el siguiente subconjunto \( R^3 \) es subespacio de \( R^3 \)

    \( R^3_3 = \{(x, y; z) / x+y = 3z\}\)

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Enunciado 62

Dado un espacio vectorial \( R^3 \) demostrar que siendo
    \( U = \{(x, y, z)\:/\: x=y=z\} \; ;\; V = \{(x,y,z)\: /\: x = 0\} \)
Son subespacios de \( R^3 \)

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Enunciado 63

Demostrar que en el ejercicio anterior, \( R^3 \) es suma directa de U y V, es decir
    \( R^3 = U\oplus V \)
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Enunciado 64

Decir si son linealmente independientes o no los siguientes vectores:
    \( \begin{array}{l}
    a)\quad (1, 0)\: ,\: (0, 1)\quad \:sobre\: R^2 \\
     \\
    b) \quad (1, 1, 0) \:,\: (1, 1, 1)\: ,\: (0, 1, -1)\quad \:sobre\: R^3
    \end{array}
    \)
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Enunciado 65

Cuáles son las coordenadas de la función:

    \( f(t) = 3·\sin t + 5·\cos t \)
Con respecto a la base \(\{\sin t, \cos t\} \).
¿Cuáles son las coordenadas de la función derivada de f(t) en la anterior base?
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Enunciado 66

Hallar las coordenadas de los vectores representados respecto a la base que se indica:

    \( \begin{array}{l}
    1)\;x = (1, 0, 0)\;;\; a = (1,1,1), b=(-1,1,0), c=(1, 0, -1) \\
     \\
    2)\;x = (1, 1, 1)\;;\; a = (0,1,-1), b=(1,1,0), c=(1, 0, 2) \\
     \\
    3)\;x = (0, 0, 1)\;;\; a = (1,1,1), b=(-1,1,0), c=(1, 0, -1)
    \end{array} \)
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Enunciado 67

Si los vectores \( x_1, x_2, x_3, x_4\) de un espacio vectorial V sobre el cuerpo R son linealmente independientes, demostrar que también son linealmente independientes los vectores:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y_1 = x_1+x_2+x_3\quad ; \quad y_2 = x_1+x_2+x_4\\
     \\
    y_3 = x_1+x_3+x_4\quad ; \quad y_4 = x_2+x_3+x_4
    \end{array} \)
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Enunciado 68

Sea V un espacio vectorial igual a \( R^3 \) para algún cuerpo, y sea W subespacio generado por (1, 0, 0) y U el subespacio generado por {(1, 1, 0),(0, 1, 1)}. Demostrar que V es suma directa de U y W
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Enunciado 69

Sean \(V_1 \; y \; V_2 \) dos subespacios de un espacio vectorial V, consideremos la aplicación
    \( f\left(V_1\times V_2\right)\longrightarrow V \Longrightarrow f(x_1,x_2) = x_1+x_2 \)
a) demostrar que f es aplicación lineal. Hallar Im f y Ker f
b) demostrar que Ker f es isomorfo a \(V_1 \; \cap \; V_2 \)
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Enunciado 70

Sea f la aplicación lineal de un espacio vectorial V en otro W, definida por:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1)= 4·w_1 - 3·w_2 \\
     \\
    f(v_2)= w_1 + 5·w_2
    \end{array} \)
Siendo \( v_1, v_2 \) base de V y\( w_1, w_2 \) base de W.
Calcular \( y_1, y_2 \) en función de \( x_1, x_2 \) de manera que se tenga:
    \( f(x_1·v_1 + x_2·v_2)= y_1·w_1+y_2·w_2\)
Calcular asimismo Im f y Ker f
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Problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás