PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

  Estás en >

Matemáticas y Poesía

problemas resueltos

Enunciado 81

Tomando u y v por nuevas variables independientes, transformar la siguiente ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}·x^2 - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}·y^2 = 0 \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = x·y \quad ; \quad v = \frac{x}{y} \)
Ver Solución
Enunciado 82

Comprobar que la función z = z(x, y) dada por el sistema de ecuaciones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    z = \alpha·x + \left(\frac{y}{\alpha}\right) + f(\alpha)\\
     \\
    0 = x - \left(\frac{y}{\alpha^2}\right) + f'(\alpha)
    \end{array} \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y} = 1 \)
Ver Solución

Enunciado 83

Si:

    \( u = x^2 + y^2\)

Donde:

    \( x = r·\cos \varphi \;;\; y = r·\sin 2 \varphi \)

Hallar:

    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} \; y \; \frac{\partial u}{\partial \varphi} \)
Ver Solución
Enunciado 84

Demostrar que la función:
    \( z = \phi(x - a·z, y - b·z) \)
Dónde \( \phi(u, v) \) es una función diferenciable cualquiera de los argumentos:
    \( u = x - a·z \quad ;\quad v = y - b·z \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle a·\frac{\partial z}{\partial x} + b·\frac{\partial z}{\partial y} = -1 \)
Ver Solución
Enunciado 85

Sea la función \( w = f(u,v)\) dónde se tiene:
    \( u = x + a·t \quad ;\quad v = y + b·t \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = a·\frac{\partial w}{\partial x} + b·\frac{\partial w}{\partial y} \)
Ver Solución

Enunciado 86

Hallar la función \( u(x,y)\) sí se tiene:

    \( \displaystyle a)\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 0 \qquad ; \qquad b)\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \)
Ver Solución
Enunciado 87

Tomando u y v por nuevas variables independientes y w(u,v) por nueva función, transformar la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} + 2·\frac{\partial z}{\partial x} + z = 0 \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = \frac{1}{2}(x+y)\quad ; \quad v = \frac{1}{2}(x-y)\quad ; \quad w = z·e^x \)
Ver Solución
Enunciado 88

Suponiendo que \( \varphi \quad y \quad \psi \) son diferenciables un número suficiente de veces, comprobar las igualdades:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y·\frac{\partial z}{\partial x} - x·\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \\
     \\
    Si\quad z = \varphi (x^2 + y^2) \\
     \\
    x·\frac{\partial u}{\partial x} + \alpha·y·\frac{\partial u}{\partial y} + \beta·z·\frac{\partial u}{\partial z} = a·u \\
     \\
    Si\quad u = x^n·\varphi\left(\frac{y}{x^\alpha} , \frac{z}{x^\beta}\right) \\
     \\
    x·\frac{\partial u}{\partial x} + y·\frac{\partial u}{\partial y} + z·\frac{\partial u}{\partial z} = u + \frac{x·y}{z} \\
     \\
    Si\quad u = \frac{x·y}{z}·\ln x + x· \varphi\left(\frac{y}{x} , \frac{z}{x}\right)
    \end{array} \)
Ver Solución

Enunciado 89

Suponiendo que \( \varphi \quad y \quad \psi \) son diferenciables un número suficiente de veces, comprobar las igualdades:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2·\frac{\partial u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\
     \\
    Si \quad u = x·\varphi(x+y) + y·\psi(x+y) \\
     \\
    \frac{\partial u}{\partial x}· \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + \frac{\partial u}{\partial y}· \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} \\
     \\
    u = \varphi[x + \psi(y)]
    \end{array} \)
Ver Solución
Enunciado 90

Por derivaciones sucesivas eliminar las funciones arbitrarias \( \varphi \quad , \quad \psi \) para la función:
    \( \displaystyle z = \varphi(x·y) + \psi\left(\frac{x}{y}\right) \)
Ver Solución
PROBLEMAS RESUELTOS
DE
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
 



Página publicada por: José Antonio Hervás