PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

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Matemáticas y Poesía

problemas resueltos

Enunciado 71

Tomando u y v por nuevas variables independientes transformar la ecuación:
    \( \displaystyle x^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} -(x^2+y^2)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =0 \)
Siendo
    \( \displaystyle u = x+y \quad ; \quad v = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \)
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Enunciado 72

Hallar el valor de la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \)
En el punto u = 2 , v = 1 si se tiene:
    \( x = u+v^2 \; ;\; y = u^2 - v^3 \; ;\; z = 2·uv \)
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Enunciado 73

Tomando u, v como nuevas variables independientes transformar la ecuación:
    \( \displaystyle a·x^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + 2b·xy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + c·y^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =0 \)
Si \( u = \ln x \;;\; v = \ln y \) y dónde a, b, c son constantes arbitrarias.
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Enunciado 74

Pasar a las nuevas variables independientes u, v y a la nueva función w la expresión
    \( \displaystyle (1-x^2)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + (1-y^2)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} \)
siendo
    \(x = \sin u \;;\; y = \sin v \;;\; z = e^w \)
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Enunciado 75

Pasar a las nuevas variables independientes u, v y a la nueva función w la expresión
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + \left(1 + \frac{x}{y}\right)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =0 \)
donde:
    \( u = x \;;\; v = x+y \;;\; w = x+y+z\)
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Enunciado 76

Pasar a las nuevas variables independientes u, v y a la nueva función w la expresión:
    \( \displaystyle y·\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}+ 2· \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{x} \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = \frac{x}{y} \; ;\; v = x \; ;\; w = x·z - y \)
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Enunciado 77

La función u = u(x) viene determinada por el sistema de ecuaciones:
    \(f(x, y, z) = u \; ;\; g(x, y, z)= 0 \; ;\; h(x, y, z)= 0 \)
Calcular
    \( \displaystyle \frac{du}{dx} \)
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Enunciado 78

Tomando u y v por nuevas variables independientes y w(u, v) por una nueva función, transformar la siguiente ecuación:
    \( \displaystyle \left(x·\frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left(y·\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 = \frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·z^2 \)
Siendo:
    \( x = u·e^w \;;\; y = v·e^w \;;\; z = w·e^w\)
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Enunciado 79


Introduciendo las nuevas variables que se indican, transformar la ecuación:
    \( x^4·y^{\prime \prime} + x·y·y' - 2·y^2 = 0 \)
Siendo:
    \( x = e^t \;;\; y = u·e^{2t} \;;\; donde\; u = u(t) \)
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Enunciado 80

Comprobar que la función implícita z = z(x, y) determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la expresión:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- 2\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·
    \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás