PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

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problemas resueltos

Enunciado 61

Hallar
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y} \)
Si, F(x-y , y-z , z-x) = 0
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Enunciado 62

hallar el término
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \)
si se tiene \( \displaystyle F(x+y+z , x^2+y^2+z^2) \)
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Enunciado 63

Hallar la expresión
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \)
Si se tiene: \( F(xy , yz) = 0\)
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Enunciado 64

Sean x = x(y,z) ; y = y(x,z) ; z = z(x,y) funciones definidas por la ecuación F(x,y,z) = 0 . Demostrar que se tiene
    \( \displaystyle \frac{\partial x}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial x}= -1 \)
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Enunciado 65

Hallar \( d^2z \) si se tiene
    \( F(x+z , y+z)\)
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Enunciado 66

Hallar \( d^2z \) si se tiene
    \( \displaystyle F\left(\frac{x}{z} , \frac{y}{z}\right) \)
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Enunciado 67

Sean x = f(u, v, w) ; y = g(u, v, w) ; z = h(u, v, w) ; hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\quad ;\quad\frac{\partial u}{\partial y}\quad ;\quad\frac{\partial u}{\partial z} \)
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Enunciado 68

La función z = z(x, y) viene dada por la expresión:
    \( \displaystyle x^2+y^2+z^2 = y·f\left(\frac{z}{y}\right) \)
Comprobar que se tiene:
    \( \displaystyle \left(x^2-y^2-z^2\right)\frac{\partial z}{\partial x} + 2·x·y\frac{\partial z}{\partial y} = 2x·z \)
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Enunciado 69


Comprobar que la función z = z(x, y) definida por la ecuación:
    \( a·x + b·y + c·z = \phi\left(x^2 + y^2 + z^2\right) \)
Dónde \( \phi(u) \) es una función diferenciable arbitraria de la variable u, y a, b, c son constantes, satisface:
    \( \displaystyle \left(c·y - b·z\right)\frac{\partial z}{\partial x} + (a·z - c·x)\frac{\partial z}{\partial y} = b·x - a·y \)
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Enunciado 70

Transformar a coordenadas polares la ecuación:
    \( \displaystyle w = x·\frac{\partial u}{\partial x} + y· \frac{\partial u}{\partial y} \)
Haciendo
    \( x = r·\cos \phi \quad ; \quad y = r·\sin \phi \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás