PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

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Matemáticas y Poesía

problemas resueltos

Enunciado 51

Sea la punción w = f(u, v) donde se tiene:
    \( u = x + a·t \quad;\quad v = y + b·t \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t} = a·\frac{\partial w}{\partial x} + b·\frac{\partial w}{\partial y} \)
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Enunciado 52

Tomando u y v por nuevas variables independientes y w(u, v) por nueva función, transformar la ecuación:

    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} + 2·\frac{\partial z}{\partial x} + z = 0 \)
Siendo

    \( \displaystyle u = \frac{1}{2}(x+y) \; ;\; v = \frac{1}{2}(x-y) \; ;\; w = z·e^x \)
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Enunciado 53

Suponiendo que \( \varphi \) es diferenciable un número suficiente de veces, probar las igualdades:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y·\frac{\partial z}{\partial x} + x·\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \quad ;\quad si\: z = \varphi(x^2+y^2) \\
     \\
    x\frac{\partial u}{\partial x} + \alpha y \frac{\partial u}{\partial y} + \beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n·z\quad ; \quad si\: u = x^n \varphi \left(\frac{y}{x^\alpha},\frac{z}{x^\beta} \right) \\
     \\
    x \frac{\partial u}{\partial x} \!+\! y \frac{\partial u}{\partial y}\! +\! z \frac{\partial u}{\partial z}= u \!+\! \frac{x y}{z} \,si\, u\! =\! \frac{xy}{z} \ln x \!+\! x \varphi \left(\frac{y}{x},\frac{z}{x} \right)
    \end{array} \)
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Enunciado 54

Suponiendo que \( \varphi \; y\; \psi \) son diferenciables un número suficiente de veces, probar las igualdades:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -2\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \quad si\: u = x \varphi(x+y) + y \psi(x+y) \\
     \\
    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \quad si\: u = \varphi[x+\psi(y)]
    \end{array} \)
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Enunciado 55

Por derivaciones sucesivas eliminar las funciones arbitrarias \( \varphi \; y\; \psi \) para la función:
    \( \displaystyle z = \varphi(x·y) + \psi\left(\frac{x}{y}\right) \)
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Enunciado 56

Hallar la función u(x, y) si se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}= 0 \)
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Enunciado 57

Determinar la forma de la función u= f(x,y) que satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 }= 0 \)
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Enunciado 58

Suponiendo que las ecuaciones:
    \( x = \varphi(u, v)\quad ; \quad y=\psi(u, v)\quad ; \quad z = \phi(u, v) \)
Determinan a z como función x e y, hallar
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad\frac{\partial z}{\partial y} \)
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Enunciado 59


Comprobar que la función z = z(x,y) determinada por la ecuación:
    \( \displaystyle \phi\left(\frac{x-x_o}{z-z_o}, \frac{y-y_o}{z-z_o} \right) = 0\)
Dónde \( \phi(u, v)\) es una función diferenciable, satisface la expresión:
    \( \displaystyle (x-x_o)·\frac{\partial u}{\partial x} + (y-y_o)·\frac{\partial u}{\partial y}= z -z_o \)
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Enunciado 60

Comprobar que la función implícita z = z(x, y) determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- 2\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
    \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás