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MATEMÁTICAS

TEORÍA DE FUNCIONES

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ejercicios resueltos

Ejercicios de análisis matemático - enunciado 81

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    w = x·\sin (x+y) \\
    \\
    w = \frac{\cos x^2}{y} \\
    \\
    w = \tan \left(\frac{x^2}{y}\right) \\
    \\
    w = x^y \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 82

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x^{y^z} \\
    \\
    w = \ln (x + y^2) \\
    \\
    w = \left(\frac{x}{y}\right)^z \\
    \\
    w = x^{y/z} \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 83

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \sin (x·\sin y) \\
    \\
    f(x,y,z) = \sin [x·\sin (y·\sin z)] \\
    \\
    f(x,y,z) = (x+y)^z \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 84

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \sin (x·y) \\
    \\
    f(x,y) = \arctan \left(\frac{x}{y}\right) \\
    \\
    f(x,y) = \arctan \left(\frac{x+ y}{1 - x·y}\right) \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 85

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \arcsin \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \\
    \\
    f(x,y,z) = \ln \left(X^x·Y^y·Z^z\right) \\
    \\
    f(x,y,z) = e^{ax+by + cz} \\
    \\
    f(x,y,z) = x·y·z·e^{(x+y+z)} \\

    \end{array}\)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 86

Probar que la función:

    \( \displaystyle f(x,y) = (x+y)·\lg\left(\frac{y}{x}\right) \)
Es una función homogénea y verifica el teorema de Euler.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 87

Probar que la función:

    \( \displaystyle W = x^3·y^2 + z^2·y·x^2 + z^5·\sin\left(\frac{x}{y}\right) \)
Cumple el teorema de Euler de las funciones homogéneas y decir cuál es su grado.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 88

Sea la función:

    \( \displaystyle z = x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle x·\frac{\partial z}{\partial x} + y·\frac{\partial z}{\partial y} = (a·x + b·y + n)·z(x,y) \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 89

Demostrar que si una función diferenciable \( u = f(x,y,z)\) satisface la ecuación:

    \( \displaystyle x·f'_x + y·f'_y + z·f'_z = n·f\)
Entonces es una función homogénea de grado n.

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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 90

Demostrar que sí \( f(x,y,z) \) es una función diferenciable homogénea de grado n, sus derivadas parciales,
    \( f'_x(x,y,z)\quad ; \quad f'_y(x,y,z) \quad ;\quad f'_z(x,y,z) \)
Funciones homogéneas de grado \( n-1 \).
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Página publicada por: José Antonio Hervás