PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

TEORÍA DE FUNCIONES

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ejercicios resueltos

Ejercicios de análisis matemático - enunciado 71

Demostrar que no es derivable en \( x=1 \) La función:

    \( x \rightarrow f(x) = \sqrt{x^3 - E(x)} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 72

Dada la función:

    \( \displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^3·\sin \left(\frac{1}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
    \\
    0 \:, \: \textrm{cuando } x = 0 \\
    \end{array}
    \right.\)

Demostrar:

    1) que es continúa en \( x=0 \)
    2) que es diferenciable en \( x=0 \)
    3) calcular \( f'(x)\, ,\, \forall x \, \in \, R \) y demostrar que es continua en \( x=0 \) pero no es diferenciable.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 73

Comprobar mediante la definición de límite que se tiene:

    \(\displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 4 \\
    y \rightarrow -1
    \end{array}
    }(6·x - 2·y) =26 \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 74

Determinar el límite de la función \( f(x,y) \) expresada:

    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 0 \\
    y \rightarrow 0
    \end{array}
    }\frac{x·\sin (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} \)
Y calcular los valores de \(\delta \) que cumplan la condición.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 75

Probar, por la definición de límite, que si tiene:

    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 1 \\
    y \rightarrow 2
    \end{array}
    }(x^2 + 2·y)= 5 \)
Y calcular también \( \delta \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 76

Determinar si la función:

    \( \displaystyle z = \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
Tiene límite en el origen.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 77

Determinar si la función:

    \( \displaystyle z = \frac{x·y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
Tiene límite en el punto (0,0).
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 78

Hallar los límites reiterados:

    \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\left[\lim_{y \rightarrow b} f(x,y)\right]\qquad ; \qquad \lim_{y \rightarrow b}\left[\lim_{x \rightarrow a} f(x,y)\right] \)
En los siguientes casos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^4} \qquad ; \quad cuando\; a = \infty\; ; \; b = \infty \\
    \\
    f(x,y) = \frac{x^y }{1 + x^y} \qquad ; \quad cuando\; a = \infty\; ; \; b = +0 \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 79

Hallar los límites reiterados :

    \( \displaystyle \lim_{v \rightarrow c}\left[\lim_{w \rightarrow d} f(v,w)\right]\qquad ; \qquad \lim_{w \rightarrow d}\left[\lim_{v \rightarrow c} f(v,w)\right] \)
En los siguientes casos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(v,w) = \sin \left(\frac{\pi·v}{2·v + w}\right) \qquad ; \quad cuando\; c = \infty\; ; \; d = \infty \\
    \\
    f(v,w) = \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right) \qquad ; \quad cuando\; c = 0; ; \; d = \infty \\
    \\
    f(v,w) = \log_v (v+w) \qquad ; \quad cuando\; c = 1\; ; \; d = 0 \\

    \end{array} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 80

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    w = x^4 + y^4 - 4·x^2·y^2 \\
    \\
    w = x·y + \frac{x}{y} \\
    \\
    w = \frac{x}{y^2} \\
    \\
    w = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\

    \end{array} \)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

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Página publicada por: José Antonio Hervás