Ejercicios
de dominios y continuidad de funciones - enunciado 1
Determinar el dominio de las siguientes funciones:
\( \displaystyle (a)\qquad x \rightarrow y = \ln (x^2 - 4x +
3)\qquad ; \qquad (b) \qquad x \rightarrow y = (1-x^2)^{-1/2}
\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones- enunciado 2
Determinar el dominio de las siguientes funciones:
\( \displaystyle (c)\qquad x \rightarrow y = 1/E(1/x) \qquad
; \qquad (d) \qquad x \rightarrow y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 3
Demostrar que el límite de la función :
\( \displaystyle \lim _{x\rightarrow 6}f (x) = \frac{x^2 - 9}{x-3}
= 6 \)
Cuando la variable independiente tiende a 3
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 4
Demostrar que el límite de la función:
\(\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}f (x) =x^2 + 2x = 3\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 5
Demostrar que si la función f(x) es contínua en
un punto x
o también lo es la función \(|f(x)|\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 6
Investigar los puntos donde la función:
\(\begin{array}{l} f(x) = x \quad , \forall \; x \textrm{ racional}
\\ f(x) = 0 \quad , \forall \; x \textrm{ irracional} \end{array}\)
es contínua.
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 7
Sea f una función contínua sobre un intervalo [a,
b] en el que se tiene:
máx local para x = x1
máx local para x = x2 ; siendo x2 > x1
Demostrar que f admite un mínimo local en un punto \(x_3\in
(x_1, x_2)\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 8
Sea f una función contínua en [0,1] tal que cualquiera
que sea \(x \in [0,1]\) se tiene :
Demostrar que existe un punto:
\(x_o \in [0,1] / x_o = f(x_o) \)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 9
Sea f una función contínua sobre [0 , 1] tal que
f(0) = f(1). Demostrar que todo entero natural p se le puede asociar
un \(a \in [0, 1]\) tal que se tenga:
\(\displaystyle (f(a) = f \left(a + \frac{1}{p}\right)\)
Nota.- Considérese la función
\(\displaystyle g(x) = f \left(x + \frac{1}{p}\right)- f(x)\)
definida en
\(\displaystyle \left[0\:, \:\frac{p-1}{p}\right]\)
y ver que ocurre si \(g(x) \neq 0\)
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Ejercicios de dominios y continuidad
de funciones - enunciado 10
Sea una función f(x) que toma el valor cero cuando x es
irracional y el valor 1/q cuando x = p/q (fracción irreducible).
Demostrar que en los puntos de abcisas irracionales la función
es contínua y en los puntos de abcisas racionales la función
es discontinua
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