PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios resueltos

Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que sí \( f(x,y,z) \) es una función diferenciable homogénea de grado n, sus derivadas parciales,
    \( f'_x(x,y,z)\quad ; \quad f'_y(x,y,z) \quad ;\quad f'_z(x,y,z) \)
Funciones homogéneas de grado \( n-1 \).

Respuesta al ejercicio 90
Si una función es homogénea, de grado n, se tiene, por definición:
    \( f(tx \:,\: ty \:,\: tz) = t^n·f(x,y,z) \)
si derivamos ambos miembros de esta expresión respecto a \( x \), tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    t·f'_x(tx \:,\: ty \:,\: tz) = t^n·f'_x(x,y,z) \Rightarrow \\
     \\
    f'_x(tx \:,\: ty \:,\: tz) = t^{n-1}·f'_x(x,y,z)
    \end{array} \)
por lo que resulta que la derivada parcial respecto a \( x \) es una función homogénea de grado \( n-1 \).
Derivando de igual forma respecto a \( y \), y respecto a z, se demuestra que las derivadas parciales son funciones homogéneas de grado \( n-1 \).
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Página publicada por: José Antonio Hervás