PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que si una función diferenciable \( u = f(x,y,z)\) satisface la ecuación:

    \( \displaystyle x·f'_x + y·f'_y + z·f'_z = n·f\)
Entonces es una función homogénea de grado n.

Respuesta al ejercicio 89
Definimos la función \( F(t) \) la forma:
    \( \displaystyle F(t) = \frac{f(tx , ty , tz)}{t^n} \)
Donde:
    \( t·x = u_1 \quad ; \quad t·y = u_2 \quad ;\quad t·z = u_3 \)
Si derivamos esta función respecto a \( t \) nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    F'(t) = \frac{ \displaystyle t^n \left[\frac{\partial f}{\partial u_1}·x+ \frac{\partial f}{\partial u_2}·y + \frac{\partial f}{\partial u_3}·z\right]- n·t^{n-1}·f(u_1,u_2,u_3)}{t^{2n}}= \\
    \\
    = \frac{\displaystyle t^{n-1} \left[\frac{\partial f}{\partial u_1}·u_1+ \frac{\partial f}{\partial u_2}·u_2 + \frac{\partial f}{\partial u_3}·u_3 - n·f(u_1,u_2,u_3)\right]}{t^{2n}}= 0
    \end{array} \)
Pero por hipótesis tenemos:
    \( x·f'_x + y·f'_y + z·f'_z = n·f(x , y , z)\)
Y si \( f \) verifica la ecuación respecto a unas variables, también la verificará respecto de otras dependientes de las primeras.
Al ser la derivada de la función nula, podemos poner:
    \( \displaystyle F(t) = K \Rightarrow \frac{f(tx \:,\: ty \:,\: tz)}{t^n}= K \Rightarrow f(tx\:,\: ty \:,\: tz) = t^n·K \)
Haciendo \( t = 1\) nos queda \( K = f(x,y,z)\) y sustituyendo:
    \( f(tx \:,\: ty \:,\: tz) = t^n·f(x,y,z) \)
Qué es la definición de función homogénea.
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Página publicada por: José Antonio Hervás