PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Sea la función:

    \( \displaystyle z = x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle x·\frac{\partial z}{\partial x} + y·\frac{\partial z}{\partial y} = (a·x + b·y + n)·z(x,y) \)
Respuesta al ejercicio 88
Si derivamos la función respecto a \( x \quad e \quad y \) se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial z}{\partial x} = n·x^{n-1}·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) + a·x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right)+ \\
    \\
    + x^n·e^{ax+by}·f'\left(\frac{y}{x}\right)·\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\
    \\
    \frac{\partial z}{\partial y} = b·x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) + x^n·e^{ax+by}·f'\left(\frac{y}{x}\right)·\frac{1}{x}\\

    \end{array} \)
Sustituyendo en la fórmula de Euler.
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x·\frac{\partial z}{\partial x} + y·\frac{\partial z}{\partial y} = n·x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) + a·x^{n+1}·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right)+\\
     \\
    + x^n·e^{ax+by}·f'\left(\frac{y}{x}\right)·\left(-\frac{y}{x^2}\right) + \\
     \\
    + b·x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right) + x^n·e^{ax+by}·f'\left(\frac{y}{x}\right)·\frac{y}{x}= \\
     \\
    = n·x^n·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right)+ a·x^{n+1}·e^{ax+by}·f\left(\frac{y}{x}\right)+ b·y·x^n·e^{ax+by}f\left(\frac{y}{x}\right)= \\
     \\
    = x^n·e^{ax+by}.f\left(\frac{y}{x}\right)(n+a·x+b·y)= (a·x + b·y + n)·z \\
    
    \end{array} \)
Cómo queríamos demostrar.
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Página publicada por: José Antonio Hervás