PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Probar que la función:

    \( \displaystyle W = x^3·y^2 + z^2·y·x^2 + z^5·\sin\left(\frac{x}{y}\right) \)
Cumple el teorema de Euler de las funciones homogéneas y decir cuál es su grado.

Respuesta al ejercicio 87
Vemos primeramente si es homogénea:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    (tx , ty , tz) = (tx)^3·(ty)^2 + (tz)^2·(ty)·(tx)^2 + (tz)^5·\sin\left(\frac{tx}{ty}\right) = \\
    \\
    = t^5\left[(x)^3·(y)^2 + (z)^2·(y)·(x)^2 + (z)^5·\sin\left(\frac{x}{y}\right)\right] \\

    \end{array} \)
Por lo tanto la función es homogénea de grado 5.
Aplicando el teorema de Euler tenemos
    \( \displaystyle x·\frac{\partial w}{\partial x} + y· \frac{\partial w}{\partial y}+ z·\frac{\partial w}{\partial z} = 5·w(x,y,z) \)
Y obteniendo cada una de las derivadas parciales:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial w}{\partial x}= 3x^2·y^2 + 2x·z^2·y + z^5·\frac{1}{y}·\cos \left(\frac{y}{y}\right) \\
    \\
    \frac{\partial w}{\partial y} = 2x^3·y + z^2·x^2 - z^5·\frac{x}{y^2}·\cos \left(\frac{y}{y}\right)\\
    \\
    \frac{\partial w}{\partial z} = 2z·y·x^2 + 5z^4·\sin \left(\frac{y}{y}\right)\\

    \end{array} \)
Sustituyendo en la fórmula final:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x·\frac{\partial w}{\partial x} + y· \frac{\partial w}{\partial y}+ z·\frac{\partial w}{\partial z} = \\
     \\
    = 5·x^3·y^2 + 5·x^2·y·z^2 + 5·z^5· \sin \left(\frac{y}{y}\right) = 5·W(x,y,z)
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás