PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Probar que la función:

    \( \displaystyle f(x,y) = (x+y)·\lg\left(\frac{y}{x}\right) \)
Es una función homogénea y verifica el teorema de Euler.

Respuesta al ejercicio 86
Es homogénea, pues se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(tx \:,\: ty) = (tx + ty)·\lg\left(\frac{ty}{tx}\right) = (tx + ty)·\lg\left(\frac{y}{x}\right)= \\
    \\
    = t(x+y)· \lg\left(\frac{y}{x}\right)= t·f(x \:,\: y)
    \end{array} \)
La función es, por tanto, homogénea de grado 1.
De ahí podemos hacer:
    \( x·f'_x + y·f'_y = f \qquad (a) \)
Obteniendo las derivadas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f'_x = \lg \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{x}{y}\left(- \frac{y}{x^2}\right)·(x+y) = \lg \left(\frac{y}{x}\right) - \frac{x+y}{x}\\
    \\
    f'_y = \lg \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{1}{y}(x+y) \\

    \end{array} \)
Y sustituyendo en la expresión (a):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x\left[\lg \left(\frac{y}{x}\right) - \frac{x+y}{x}\right] + y\left[\lg \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{x+y}{y}\right] =\\
     \\
    = x· \lg \left(\frac{y}{x}\right) + y·\lg \left(\frac{y}{x}\right) = (x+y)·\lg \left(\frac{y}{x}\right) \\
    
    \end{array} \)
Y por lo tanto verifica el teorema de Euler. Que es lo que queríamos demostrar.
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Página publicada por: José Antonio Hervás