PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \arcsin \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \\
    \\
    f(x,y,z) = \ln \left(X^x·Y^y·Z^z\right) \\
    \\
    f(x,y,z) = e^{ax+by + cz} \\
    \\
    f(x,y,z) = x·y·z·e^{(x+y+z)} \\

    \end{array}\)
Respuesta al ejercicio 85
Sabiendo que la derivada de \(\arcsin u\) viene dada por la expresión:
    \( \displaystyle D \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}·D u \)
Cuando se derivan funciones en \(R_1\), podemos hacer:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{(1-y^2)/x^2+y^2}}·\frac{-x·y}{\sqrt{x^2+y^2}} = -y \)
De igual forma tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{(1-y^2)/x^2+y^2}}·\frac{1-x·y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1-x·y}{x} \)
Para el siguiente ejercicio, tenemos en cuenta que la expresión general de la derivada de una función \(f =\ln u \) con una sola variable es:
    \( \displaystyle D \ln u = \frac{D u}{u} \)
Por lo tanto, podemos hacer:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{Y^y·Z^z·X·X^{x-1}·X^x·\ln X}{X^x·Y^y·Z^z} = X^x·\ln X \)
Y de igual modo:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = Y^y·\ln Y \qquad ; \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = Z^z·\ln Z \)
Para la siguiente función, todas las derivadas parciales toman la misma forma:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = e^{ax+by+cz} \)
Por último para la cuarta función, las derivadas parciales son:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial f}{\partial x} = y·z·e^{(x+y+z)}+ e^{(x+y+z)} = (1 + y·z)e^{(x+y+z)}\\
     \\
    \frac{\partial f}{\partial y} = x·z·e^{(x+y+z)}+ e^{(x+y+z)} = (1 + x·z)e^{(x+y+z)}\\
     \\
    \frac{\partial f}{\partial z} = x·y·e^{(x+y+z)}+ e^{(x+y+z)} = (1 + x·y)e^{(x+y+z)}\\
    
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás