PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \sin (x·y) \\
    \\
    f(x,y) = \arctan \left(\frac{x}{y}\right) \\
    \\
    f(x,y) = \arctan \left(\frac{x+ y}{1 - x·y}\right) \\

    \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 84
Tenemos para las dos primeras expresiones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial w}{\partial x} = y·\cos (x·y) \quad ; \quad \frac{\partial w}{\partial y} = x·\cos (x·y)\\
     \\
    \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{y/x^2}{1 + (y/x)^2} \quad ; \quad \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1/x}{1 + (y/x)^2}
    \end{array} \)
Y para la tercera expresión, sabiendo que la derivada de \(\arctan u\) es:
    \( \displaystyle D \arctan u = \frac{1}{1 + u^2}·D u \)
Podemos hacer:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1 - x·y + y(x+y)}{\left[1 +\displaystyle \left(\frac{x+y}{1-x·y}\right)^2\right](1 - x·y)^2} = \frac{1+y^2}{1+x^2·y^2 + x^2 + y^2} \)
Observamos que el denominador es el resultado de operar,
    \( (1+y^2)·(1+x^2) \)
por lo tanto, podemos simplificar y nos queda:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 + x^2} \)
Considerando que la derivada parcial de f respecto a y tiene la misma forma el resultado final nos dará:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1 + y^2} \)
Por lo que tenemos :
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 + x^2}\quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1 + y^2} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás