PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    w = x·\sin (x+y) \\
    \\
    w = \frac{\cos x^2}{y} \\
    \\
    w = \tan \left(\frac{x^2}{y}\right) \\
    \\
    w = x^y \\

    \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 81
Como hemos hecho en el ejercicio anterior, la forma de obtener la derivada parcial respecto a una variable es considerar constantes las demás variables y derivar la función como en el caso de una variable. Tenemos, por tanto:
    \( \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \sin (x+y) + x·\cos (x+y)\quad ; \quad \frac{\partial w}{\partial y} = x·\cos (x+y)\)
Podemos ver que en este ejemplo existe una relación entre la función y las derivadas parciales:
    \( \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{w}{x} + \frac{\partial w}{\partial y} \Rightarrow w = x\left(\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial w}{\partial y}\right) \)
Para las otras funciones tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2·x}{y}·\sin x^2 \quad ;\quad \frac{\partial w}{\partial y} = - \frac{\cos x^2}{y^2} \\
    \\
    \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{2·x/y}{\cos^2(x^2/y)} \quad ;\quad \frac{\partial w}{\partial y} = - \frac{x^2/y^2}{\cos^2 (x^2/y)} \\
    \\
    \frac{\partial w}{\partial x} = y·x^{y-1} \quad ;\quad \frac{\partial w}{\partial y} = x^y·\ln x \\

    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás