PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Hallar los límites reiterados :

    \( \displaystyle \lim_{v \rightarrow c}\left[\lim_{w \rightarrow d} f(v,w)\right]\qquad ; \qquad \lim_{w \rightarrow d}\left[\lim_{v \rightarrow c} f(v,w)\right] \)
En los siguientes casos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(v,w) = \sin \left(\frac{\pi·v}{2·v + w}\right) \qquad ; \quad cuando\; c = \infty\; ; \; d = \infty \\
    \\
    f(v,w) = \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right) \qquad ; \quad cuando\; c = 0 \; ; \; d = \infty \\
    \\
    f(v,w) = \log_v (v+w) \qquad ; \quad cuando\; c = 1\; ; \; d = 0 \\

    \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 79
La primera función es:
    \( \displaystyle f(v,w) = \sin \left(\frac{\pi·v}{2·v + w}\right) \)
Y en este caso tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{v\rightarrow \infty}\left[ \lim_{w\rightarrow \infty} \sin \left(\frac{\pi·v}{2·v + w}\right)\right] = \lim_{v\rightarrow \infty}\{0\} = 0 \\
    \\
    \lim_{w\rightarrow \infty}\left[ \lim_{v\rightarrow \infty} \sin \left(\frac{\pi·v}{2·v + w}\right)\right] = \lim_{w\rightarrow \infty}\left(\sin \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1
    \end{array} \)
Por ser distintos los limites reiterados, tampoco existirá el límite doble.
Para la segunda función tenemos:
    \( \displaystyle \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right) \)
Y hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{v\rightarrow 0}\left[\lim_{w\rightarrow \infty} \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right)\right]= \\
    \\
    = \lim_{cv\rightarrow 0}\left[\lim_{w\rightarrow \infty} \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{1}{1 + (1/v·w)}\right)\right] = \lim_{v\rightarrow 0}[0·\tan 1]= 0 \\
    \\
    \lim_{v\rightarrow \infty}\left[\lim_{w\rightarrow 0} \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right)\right]
    \end{array} \)
Como tenemos \( x \rightarrow 0 \) los infinitésimos
    \( \displaystyle \tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right) \quad y \quad \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right) \)
serán equivalentes y podemos poner:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \lim_{v\rightarrow \infty}\left[\lim_{w\rightarrow 0} \frac{1}{v·w}·\tan \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right)\right]= \\
    \\
    =\lim_{v\rightarrow \infty}\left[\lim_{w\rightarrow 0} \frac{1}{v·w}· \left(\frac{v·w}{1 + v·w}\right)\right] = \lim_{v\rightarrow \infty}\{1\} = 1
    \end{array}\)

Por último, tenemos la función:

    \( \log_v (v+w) \)
Y hacemos:
    \( \displaystyle \lg_v (v+w) = A \Rightarrow v^A = v + w \Rightarrow A·\ln v = \ln (v+w) \Rightarrow A = \frac{\ln(v+w)}{\ln v} \)
Con lo que tenemos :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{v\rightarrow 1}\left[\lim_{w \rightarrow 0} \frac{\ln(v+w)}{\ln v} \right] = 1 \\
    \\
    \lim_{w\rightarrow 0}\left[\lim_{v \rightarrow 1} \frac{\ln(v+w)}{\ln v} \right]= \lim_{w\rightarrow 0}\left[ \frac{\ln(1+w)}{\ln 1} \right]= \lim_{w\rightarrow 0}\{\infty\} = \infty \\

    \end{array} \)
Con lo que no existirá el límite doble al ser distintos los limites reiterados.

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Página publicada por: José Antonio Hervás