PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Hallar los límites reiterados:

    \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\left[\lim_{y \rightarrow b} f(x,y)\right]\qquad ; \qquad \lim_{y \rightarrow b}\left[\lim_{x \rightarrow a} f(x,y)\right] \)
En los siguientes casos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^4} \qquad ; \quad cuando\; a = \infty\; ; \; b = \infty \\
    \\
    f(x,y) = \frac{x^y }{1 + x^y} \qquad ; \quad cuando\; a = \infty\; ; \; b = +0 \\

    \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 78
La primera función es:
    \( \displaystyle f(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^4} \)
Y tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x\rightarrow \infty}\left[\lim_{y \rightarrow \infty}\frac{x^2 + y^2}{x^2+y^4}\right] = \lim_{x\rightarrow \infty}\{0\} = 0 \\
    \\
    \lim_{y\rightarrow \infty}\left[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2 + y^2}{x^2+y^4}\right] = \lim_{y\rightarrow \infty}\{1\} = 0
    \end{array} \)
Cuando los límites retirados son distintos, entonces no existe el límite doble.
La segunda función es:
    \( \displaystyle f(x,y) = \frac{x^y }{1 + x^y} \)
Y para este caso tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x\rightarrow \infty}\left[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{x^y}{1+x^y}\right] = \lim_{x\rightarrow \infty}\{\frac{1}{2}\} = \frac{1}{2} \\
    \\
    \lim_{y\rightarrow 0}\left[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^y}{1+x^y}\right] = \lim_{y\rightarrow 0}\{1\} = 1
    \end{array} \)
Por lo tanto, como en el caso anterior, no existe el límite doble.
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Página publicada por: José Antonio Hervás