PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Determinar si la función:

    \( \displaystyle z = \frac{x·y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
Tiene límite en el punto (0,0).

Respuesta al ejercicio 77
Haciendo como en el caso anterior, definir una función lineal que cumpla \( aquiy = m·x\), tenemos:
    \( \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x·y}{\sqrt{x^2+y^2}}= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x·mx}{\sqrt{x^2+m^2·x^2}}= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{m·x}{\sqrt{1+m^2}} = 0 \)
Por lo tanto, si existe límite este ha de ser 0. Comprobamos por medio de la definición:
    \( \displaystyle |\frac{x·y}{\sqrt{x^2+y^2}}| = |\frac{y}{\sqrt{(y/x)^2 + 1}}|< |y| \)
Entonces que se cumpla:
    \( |y| < \delta \Rightarrow \delta = \varepsilon \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás