PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Determinar si la función:

    \( \displaystyle z = \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
Tiene límite en el origen.

Respuesta al ejercicio 76
Construimos una función lineal que cumpla \( y = m·x\):
    \( \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{m^2·x^2}{\sqrt{x^2+m^2·x^2}}= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{m^2·x}{\sqrt{1+m^2}} = 0 \)
Vamos a comprobar ahora por medio de la definición de límite si:
    \( \displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) = 0 \)
Tenemos:
    \( \displaystyle |z| = |\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}| = |\frac{y}{\sqrt{(x/y)^2 + 1}}|< |y| \)
Puesto que el denominador hace disminuir el valor de la expresión. Basta con tomar entonces:
    \( |y| < \delta \Rightarrow \delta = \varepsilon \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás