PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Probar, por la definición de límite, que si tiene:

    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 1 \\
    y \rightarrow 2
    \end{array}
    }(x^2 + 2·y)= 5 \)
Y calcular también \( \delta \)

Respuesta al ejercicio 75
La definición de límite es:
    \(\forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0\; t.q. \; \forall P : d(P,P_o) < \delta \Rightarrow |(x^2 + 2·y) - 5| < \varepsilon \)
Por lo tanto, podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    |x-1| < \delta \Rightarrow -\delta x-1 < \delta \Rightarrow 1-\delta < x < 1+\delta \\
    \\
    |x-2| < \delta \Rightarrow -\delta x-2 < \delta \Rightarrow 2-\delta < x < 2+\delta
    \end{array}\)
Elevando la primera desigualdad al cuadrado y multiplicando por 2 la segunda:
    \( \begin{array}{l}
    (1-\delta)^2 < x^2 < (1+\delta)^2 \Rightarrow 1 - 2·\delta + \delta^2 < x^2 < 1 + 2·\delta + \delta^2 \\
    \\
    4 - 2·\delta < 2·y < 4 + 2·\delta
    \end{array} \)
Sumando ambas expresiones:
    \( \begin{array}{l}
    5 - 4·\delta + \delta^2 < x^2 + 2·y < 5 + 4·\delta + \delta^2 \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow 4·\delta + \delta^2 < x^2 + 2·y - 5 < 4·\delta + \delta^2
    \end{array} \)
Si elegimos un \( \delta\) que cumpla:
    \( 0 < \delta < 1 \Rightarrow -\delta <\delta^2 < \delta \)
Sustituyendo nos queda:
    \( \begin{array}{l}
    -4·\delta - \delta < x^2 + 2·y - 5 < 4·\delta + \delta \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow -5·\delta < x^2 + 2·y - 5 < 5·\delta
    \end{array} \)
De donde finalmente tendremos:
    \( \displaystyle |(x^2+2·y) - 5| < 5·\delta \Rightarrow 5·\delta = \varepsilon \Rightarrow \delta = \frac{\varepsilon}{5} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás