PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Determinar el límite de la función \( f(x,y) \) expresada:

    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 0 \\
    y \rightarrow 0
    \end{array}
    }\frac{x·\sin (x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} \)
Y calcular los valores de \(\delta \) que cumplan la condición.

Respuesta al ejercicio 74
El límite será:
    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y \rightarrow 0
    \end{array}} \frac{x·\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} =\lim_{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y \rightarrow 0
    \end{array}} x · \lim_{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y \rightarrow 0
    \end{array}} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \)
Puesto que \( \sin (x^2+y^2) \quad y \quad(X^2+y^2) \) infinitésimos equivalentes.
Para encontrar \( \delta \) hacemos:
    \( \displaystyle |\frac{x·\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}- 0|< \varepsilon \Rightarrow |\frac{x·\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}|\leq |x| < \varepsilon \)
Por lo tanto, si tenemos:
    \( |x - 0|<\delta \Rightarrow |x| < \delta \)
Se cumple la condición necesaria para todo \( \delta = \varepsilon \).
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Página publicada por: José Antonio Hervás