PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de análisis matemático

Comprobar mediante la definición de límite que se tiene:

    \(\displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x \rightarrow 4 \\
    y \rightarrow -1
    \end{array}
    }(6·x - 2·y) =26 \)
Respuesta al ejercicio 73
La condición que se ha de cumplir es:
    \( \forall\; \in > 0 \quad \exists \quad \delta > 0 t.q. \quad d(P,P_o) < \tau \Rightarrow |(6·x - 2·y) - 26|< \varepsilon \)
Si se cumplen, entonces:
    \( d(P,P_o) < \tau \left\{
    \begin{array}{l}
    |x-4|<\tau \\
    \\
    |y+1|<\tau \\
    \end{array}
    \right. \)
Podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    - \tau < x-4 <\tau \Rightarrow 4 - \tau < x < 4 + \tau \\
    \\
    - \tau < y + 1<\tau \Rightarrow -1 - \tau < y < -1 + \tau
    \end{array} \)
Multiplicando la desigualdad superior por 6 inferior por 2, nos queda:
    \( \begin{array}{l}
    24 - 6·\tau < 6·x < 24 + 6·\tau \\
    \\
    -2 - 2·\tau < 2·y < -2 + 2·\tau
    \end{array} \)
Podemos restar ahora la segunda desigualdad de la primera, considerando la forma en que están ( si al término menor de la primera desigualdad se le resta el término mayor de la segunda, la desigualdad es todavía más pronunciada)
    \( 26 - 8·\tau < 6·x - 2·y < 26 + 8·\tau \)
De dónde podemos poner:
    \( -8·\tau < (6·x - 2·y) - 26 < 8·\tau \Rightarrow |(6·x - 2·y) - 26| < 8·\tau \)
Cómo se ha de cumplir:
    \( |(6·x - 2·y) - 26| < \varepsilon \)
Basta con elegir:
    \( \displaystyle\tau = \frac{\varepsilon}{8} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás