PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Dada la función:

    \( \displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^3·\sin \left(\frac{1}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{cuando } x = 0 \\
    \end{array}
    \right.\)

Demostrar:

    1) que es continúa en \( x=0 \)
    2) que es diferenciable en \( x=0 \)
    3) calcular \( f'(x)\, ,\, \forall x \, \in \, R \) y demostrar que es continua en \( x=0 \) pero no es diferenciable.
Respuesta al ejercicio 72
Determinamos el primer apartado:

    \( \displaystyle\left|x^3·\sin \frac{1}{x}- 0\right| = \left|x^3·\sin \frac{1}{x}\right| = \left|x^3\right|·\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leq \left|x^3\right| < \varepsilon \)

Por lo tanto, tomando \( \alpha = \sqrt[3]{\varepsilon} \) , se cumple la condición de continuidad.
Determinamos el segundo apartado:

    \( \displaystyle\frac{x^3·\sin \frac{1}{x}- 0}{x-0} = x^2·\sin \frac{1}{x} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\;x^2·\sin \frac{1}{x} = f'(0) = 0 \)

La función es por tanto derivable en \( x= 0 \)

Por último, calculamos la función derivada de\( f(x) \) , Para todo \(x \in R\):

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    f'(x) = 3x^2\sin \frac{1}{x} + x^3 \cos \frac{1}{x}\left(- \frac{1}{x^2}\right) = \\ \\ = 3x^2\sin \frac{1}{x} - x·\cos \frac{1}{x} ; \forall x \neq 0 ; f'(0) = 0 \end{array} \)

La función obtenida es suma de funciones continuas y por lo tanto es continua en el punto \( x=0 \)
No es derivable en \( x=0 \) , pues se tiene:

    \( \displaystyle \frac{ \displaystyle 3x^2\sin \frac{1}{x} - x·\cos \frac{1}{x}- 0}{x-0} = 3x·\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \)

Cuando x tiende a 0 el término

    \( \displaystyle 3x·\sin \frac{1}{x} \)

Se anula,pero

    \( \displaystyle \frac{1}{x} \)

crece arbitrariamente y

    \( \displaystyle \cos \frac{1}{x} \)

Oscila una infinidad de veces entre \( 1\; y\; -1\)

Por lo que no existe el límite de la expresión anterior y por lo tanto no es diferenciable.

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Página publicada por: José Antonio Hervás