PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que en \( x=0 \) la función:

    \( \displaystyle x \rightarrow f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{cuando }x = 0 \\
    \end{array}
    \right. \)

Es continua pero no derivable.
De igual forma de mostrar, que la función:

    \( \displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^2·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{donde } x = 0 \\
    \end{array}
    \right. \)

Es continua y derivable en el punto \( x= 0 \)

Respuesta al ejercicio 69
Para que una función sea continua en un punto, se ha de cumplir:

    \( \forall \: \varepsilon > 0 \; \exists \:\alpha > 0 / |x-x_o| < 0 \Rightarrow |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon \)

Para la primera función tenemos:

    \( \displaystyle \left|x·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)- 0\right| = \left|x·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\right| = |x|·\left|\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \leq |x| < \varepsilon \)

Puesto que la función

    \( \displaystyle \left|\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \)

Está acotada.

De ese modo si tenemos un \( \alpha = \varepsilon \) se cumple la condición necesaria, con la que se tiene:

    \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = f(0) = 0 \)

Y por tanto la función es continua en \( x=0 \)
Para ver que no es derivable tenemos:

    \( \displaystyle \frac{ \displaystyle x\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)- 0}{x - 0} = \sin \frac{\pi}{x} \)

Esta función es discontinua en \( x=0 \), luego no existe\( f' (0)\)

Para la segunda función tenemos:

    \( \displaystyle \left|x^2·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)- 0\right| = \left|x^2·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\right| = |x^2|·\left|\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \leq |x^2| < \varepsilon \)

Por lo tanto, tomando \( \alpha = \sqrt{\varepsilon} \) Que cumpla la condición de continuidad, con lo que se tiene:

    \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \quad x^2·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = f(0) = 0 \)

Para ver si esta función es continua hacemos:

    \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \; \frac{ \displaystyle x^2\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)- 0}{x - 0} =\lim_{x \rightarrow 0} \; \frac{ \displaystyle x^2\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)}{x } = \lim_{x \rightarrow 0} \; x\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\)

Y como hemos visto en el apartado anterior si existe, por lo tanto esta función si es derivable en \( x=0 \)

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tema escrito por: José Antonio Hervás