PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Se dice que una función\( f \) Satisface una condición de Lipschitz de orden \( \alpha \) en \( x_o \) Si existe un \( M>0 \) ( qué puede depender de \( x_o \)) en un entorno \( \varepsilon(x_o) \) tales que cumplen:

    \( \forall x \in \varepsilon^\ast (x_o) \Rightarrow |f(x)-f(x_o)|< M|x-x_o|^{\alpha} \)

Demostrar que una función que satisface una condición de Lipschitz de orden \( \alpha \) es continua en \( x_o \) si \( \alpha >0\) y derivable en \( x_o \) (con derivada nula) si \( \alpha > 1\)

Citar una función que satisface una condición de Lipschitz de orden 1 en \( x_o \) Para la que \( f'(x_o) \) no existe.

Respuesta al ejercicio 68
Si dice que una función es continúa en un punto \(x_o \) sí cumple:

    \( \forall \: \varepsilon > 0 \; \exists \:\delta > 0 /\: si\: |x-x_o|< \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_o)|< \varepsilon \)

Si una función cumple una condición de Lipschitz de orden \( \alpha \) se tiene:

    \( \exists\; \alpha > 0 \Rightarrow |f(x) - f(x_o)| < M |x-x_o|^\alpha \)

Luego, si se la condición de Lipschitz es un intervalo, la función será continúa y se tendrá:

    \( M |x-x_o|^\alpha < \varepsilon \)

Lo que es equivalente a decir:

    \( \displaystyle|x-x_o| < \sqrt[\alpha]{\frac{\varepsilon}{M}} \)

Es decir, existe un

    \( \displaystyle\delta = \sqrt[\alpha]{\frac{\varepsilon}{M}} \)

Para el que se tiene\( |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon \) y por tanto se cumple:

    \( \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_o} f(x) = f(x_o) \)

Por los mismos argumentos que en el apartado anterior, si \( \alpha > 1 \) , podemos poner:

    \( \displaystyle \alpha > 1 \Rightarrow \left|\frac{f(x) - f(x_o)}{x - x_o}\right| < M|x-x_o|^{\alpha-1} \)

Y según la condición que ha de cumplir una función derivable, tenemos:

    \( \displaystyle \forall \: \varepsilon > 0 \; \exists \: \varepsilon^* (x_o) / \forall x \in \varepsilon^* (x_o) \Rightarrow \left|\frac{f(x) - f(x_o)}{x - x_o}\right| < \varepsilon \)

Y por lo tanto, se ha de tener:

    \( \displaystyle M|x-x_o|^{\alpha-1} < \varepsilon \Rightarrow |x-x_o| < \sqrt[\alpha - 1]{\frac{\varepsilon}{M}}\)

Como ejemplo de función que satisface la condición de Lipschitz de orden 1 en \( x_o \) Tenemos la siguiente:

    \( \displaystyle f(x) \quad\left\{ \begin{array}{l} x·\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\  \\ 0 \qquad , \qquad x = 0 \\ \end{array} \right. \)

Si tiene:

    \( \displaystyle |x-x_o| < \alpha \Rightarrow \left|x·\sin\frac{1}{x} - 0\right| = \left|x·\sin\frac{1}{x}\right| = |x|·\left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq |x| = |x -0|^\alpha \)

Por lo tanto la función es continua en el punto 0 y cumple una condición de Lipschitz de orden 1.
Pero no es derivable en el punto 0, pues se tiene:

    \( \displaystyle \frac{ x·\sin\left(\frac{1}{x}\right)- 0 }{x - 0} = \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)

Qué es una función discontinua en \( x=0 \) y por tanto no derivable.

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Página publicada por: José Antonio Hervás