PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Dada la función \( y=f(x) \) continúa en \( [0,1] \) demostrar que existe \( \xi \:\in [a,b] \) que cumpla \( f(\xi) = \xi \) si se tiene

    \( 0 \leq f(x) \leq 1 \quad , \quad \forall x\,\in \, [a,b] \)
Respuesta al ejercicio 67

Definimos la función \( g(x) \) De la siguiente manera:

    \( g(x) = f(x) - x \)

Esta función es continúa en un intervalo\( [0,1] \) Por serlo \( f(x) \; y\; I(x) \); por otro lado se tiene:

    \( g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0 \quad ; \quad g(1) = f(1) - 1 \leq 0\)

La función\( g(x) \) toma el valor 0 para algún\( x \in [a,b] \) ; por lo tanto existe algún \(\xi \) que cumple:

    \(g(\xi) = 0 = f(\xi) - \xi \Rightarrow f(\xi) = \xi \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás